« vorheriger Beitrag  · nächster Beitrag »

06.02.08 · 10:44 Uhr

Dreieckskoordinaten oder Schwerpunktkoordinaten

Kategorie: Kultur

In Darstellungen sind wir in der Regel an kartesische Koordinatensysteme (orthogonale Koordinatenachsen) oder sphärische Koordinatensysteme (wie Länge, Breite, Höhe über NN zur Navigation auf der Erdoberfläche) gewöhnt. Diese Systeme werden uns auch von den üblichen Software-Lösungen geboten - bequem, aber in der Krativität stark einschränkend.

Eine sehr gute Visualisierung von Zahlenverhältnissen aus drei (oder im Prinzipt beliebig vielen) Einflussgrößen bieten die sogenannten Schwerpunktkoordinaten (barycentric coordinates).

Dabei werden die Verhältnisse aus drei Einflussgrößen ins Innere eines Dreiecks abgetragen. Die Ecken bilden dabei jeweils die 100% der einen Größe bei 0% für die beiden übrigen. Der Schwerpunkt des Dreiecks ist die Koordinate für das Verhältnis 1:1:1 aller dreier Größen.

Bekanntestes Beispiel: der Raum unserer Farbwahrnehmung. Wir besitzen auf unserer Netzhaut drei verschiedene Farbrezeptoren, eine sorte jeweils für rot, grün und blau. Alle Farbeindrücke entstehen aus dem Verhältnis, in welchem die drei Rezeptoren gereizt werden.
Ensprechend entstehen die Farbeindrücke, die der Bildschirm uns vermittelt, aus der unterschiedlich dichten Mischung von roten, grünen und blauen Punkten. Jede Farbe, die der Bildschirm darstellen kann, ist also ein Punkt in einem Dreieckigen Raum, an dessen Ecken jeweils die monochromen Farben sitzen.

Die absolute Helligkeit der Punkte ist dabei egal - es geht nur um das Verhältnis. Dreieckskoordinaten sind hier eine sehr nützliche Form der Visualisierung.

Die absolute Helligkeit der Punkte ist dabei egal - es geht nur um das Verhältnis. Dreieckskoordinaten sind hier eine sehr nützliche Form der Visualisierung.

Für vier Größen können die Schwerpunktkoordinaten entsprechend in einer dreiseitigen Pyramide dargestellt werden.

Allgemein gilt:
Sei V ein Vektorraum und p ∊ V. Wird durch x=(x₁, ... ,x_n) ein (n-1)-Simplex (ein verallgemeinertes Dreieck) im Vektorraum V aufgezogen, so heißt a=(a₁, ... ,a_n) Schwerpunktkoordinate von p
wenn (a₁ + ... + a_n)p = x₁a₁ + ... + x_na_n

Schwerpunktkoordinaten im gleichseitigen Dreieick:

 

Autor: Jörg Blumtritt· 0 Kommentare· Permalink· Trackback-URL

Tags: dreieckskoordinaten· koordinaten· vektorraum· visualisierung