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25.10.11 · 00:00 Uhr

Galois 200

Kategorie: Geistes- & Sozialwissenschaften  ·  Kommentare: 2

"Deux passions : les Mathématiques et un amour physique et violent pour la République." Dekonstruktionen eines Mythos.

Zum heutigen 200.Geburtstag von Évariste Galois finden diese Woche vor allem in Frankreich zahlreiche Veranstaltungen statt. Von der deutschen Presse hat sich bisher nur Neues Deutschland unter der Überschrift "Gleichungen, Frauen und Pistolen" des Jubiläums angenommen, bemerkenswerterweise ohne auf die oft kolportierten (angeblichen) politischen Hintergründe seines Todes einzugehen. Genau diesen Mythos versucht Images des Mathématiques in einem aktuellen Artikel zu dekonstruieren.

Zunächst: Was ist Galoistheorie?
Galoistheorie war ursprünglich die Theorie der Symmetrien der Nullstellen einer Polynomgleichung: dabei läßt man als Symmetrien nur diejenigen Permutationen der Nullstellen zu, für die auch alle anderen von den Nullstellen erfüllten Polynomgleichungen erhalten bleiben - die Gruppe dieser Symmetrien nennt man die Galoisgruppe. (Zwei einfache Beispiele finden sich im Wikipedia-Artikel. Mindestens seit Artin formuliert man das alles stringenter mit Körpererweiterungen.)
Galois entdeckte, daß die Lösbarkeit einer Gleichung nur von einer gruppentheoretischen Eigenschaft der Galoisgruppe abhängt: eine Polynomgleichung läßt sich genau dann durch 'Radikale' (Formeln, in denen nur Grundrechenarten und Potenzen mit rationalen Exponenten vorkommen) auflösen, wenn die Galoisgruppe eine auflösbare Gruppe ist, d.h. wenn die Folge der iterierten Kommutatoren nach endlich vielen Schritten abbricht. (Die Namensgebung 'auflösbare Gruppe' geht natürlich auf diesen Zusammenhang mit der Auflösbarkeit von Gleichungen zurück.)
Zum Beispiel ist die Permutationsgruppe von 5 Elementen nicht auflösbar, weshalb man nicht jede Gleichung 5.Grades durch Radikale auflösen kann. (Es gibt aber eine Lösungsformel mittels Thetafunktionen für Gleichungen 5.Grades.) Die Permutationsgruppe von 4 Elementen ist auflösbar, die entsprechende Lösungsformel für beliebige Gleichungen 4.Grades kennt man schon seit der Ars Magna.

Man könnte sich die Mathematik ohne Gruppentheorie heute kaum mehr vorstellen und insofern ist es eigentlich erstaunlich, daß der Begriff erst von Galois eingeführt wurde (ohne explizite Erwähnung von Gruppen kamen implizit gruppentheoretische Argumente freilich schon z.B. in Gauß "Disquisitiones Arithmeticae" oder bei Lagrange vor). Jedenfalls wurde Galois Ansatz damals nicht verstanden und erst postum 1846 veröffentlicht. Große Verbreitung in der Mathematik fand das Konzept dann ab den 1870er Jahren, u.a. durch Arbeiten von Jordan, durch Kleins Erlanger Programm und Lies Benutzung stetiger Transformationsgruppen zur Untersuchung von Differentialgleichungen. (Einen Überblick gibt Kleiners Artikel The Evolution of Group Theory.) Poincarés bekanntes Zitat "Les mathématiques ne sont qu'une histoire des groupes" stammt von 1881.

In den letzten 100 Jahren ist Galois (nicht nur in Frankreich) fast Teil der Populärkultur geworden, es gibt den Film von Alexandre Astruc, die Romane Wen die Götter lieben von Leopold Infeld (1948), Algorithme von Alexandre Arnoux (1948), Évariste Galois, L'intransigeant von André Lutaud (1991), Der französische Mathematiker von Tom Petsinis (2000) oder Galois Schweigen von Bernd Klein (2003), eine BD-Reihe in der Kinderzeitschrift Cosinus und sogar eine Rockoper The Rise and Fall of Every Galdust and the Spiders from Equations Algébriques, die man hier herunterladen kann.

Viele dieser Bearbeitungen unterstellen einen politischen Hintergrund zum frühen Tod von Galois (Mai 1832 im Duell), z.B. entwickelt Infelds Roman die Theorie, beim Duell-Gegner habe es sich um einen 'agent provocateur' der Regierung gehandelt (diese und andere Verschwörungstheorien werden bei Rothman analysiert), je nach Windrichtung wird Galois gern zum "glühenden Patriot" oder (bei Infeld) zum proletarischen Volksheld gemacht.

Images des Mathematiques hatte vor 2 Wochen einen Artikel von A.Alvarez (aufbauend auf der Dissertation von Caroline Ehrhardt, eine andere ausführlichere Quelle ist Rothmans Artikel von 1982) über die Entstehungsgeschichte des Galois-Mythos. Kurz zusammengefaßt:
1846 wurde (dank Liouville) die 1831 durch Lacroix und Poisson abgelehnte Arbeit "Sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux" veröffentlicht, nachdem seine Theorie in den nächsten Jahrzehnten breitere Anerkennung findet und Paris in den 1880er Jahren zum Zentrum der Gruppentheorie und ihrer Anwendungen wird, ist es dann vor allem 1895 die 100-Jahr-Feier der ENS und der zu diesem Anlaß von Sophus Lie geschriebene Festbeitrag "Der Einfluß von Galois auf die Entwicklung der Mathematik", die Galois über die Mathematik hinaus bekannt macht. Aus demselben Anlaß wurde auch der Historiker Paul Dupuy (der übrigens keinerlei Verbindung zu Mathematik oder Naturwissenschaften hatte) gebeten, eine Galois-Biographie zu schreiben, diese wurde 1896 veröffentlicht und entwickelte bald eine eigene Dynamik. Offensichtlich hat sie das spätere Galois-Bild stark beeinflußt. Alvarez erwähnt an erster Stelle eine literarische Arbeit von Victor Segalen aus dem Jahr 1906, der Galois mit dem Satz "Deux passions : les Mathématiques et un amour physique et violent pour la République." (Übersetzung: "Zwei Leidenschaften: die Mathematik und eine physische und gewalttätige Liebe zur Republik) charakterisiert und ihn mit Rimbaud vergleicht.
Images des Mathématiques:

Même si l'intention de Dupuy n'est pas de créer une légende (et d'ailleurs le ton de son discours évite soigneusement toute grandiloquence), les choix de l'auteur de développer certains points plus que d'autres [10] sont à l'origine d'un nouveau système de représentations de Galois. Alors que Liouville voyait dans le républicanisme de Galois un gâchis l'ayant éloigné des mathématiques, Dupuy construit quant à lui la trajectoire de Galois autour de cet engagement. Le mathématicien Galois ayant perdu son temps en politique devenait sous la plume de Dupuy un républicain doué pour les mathématiques. La légende de Galois ne faisait alors que commencer. Übersetzung: Obwohl Dupuy nicht beabsichtigt, eine Legende zu schaffen (und auch der Ton seiner Festansprache vermeidet sorgfältig jeden Schwulst), ist die Auswahl des Autors, einige Punkte mehr als andere zu entwickeln, der Ursprung eines neuen Systems von Galois-Darstellungen einer neuen Sichtweise auf Galois. Während Liouville in Galois Republikanismus ein ihn von der Mathematik entfernendes Durcheinander sah, konstruiert Dupuy den Lebensweg Galois um dieses Engagement. Der seine Zeit im politischen verloren habende Mathematiker Galois wird unter der Feder von Dupuy zum Republikaner mit einer Begabung für Mathematik. Die Legende von Galois war damit erst am Entstehen.

(Bei "nouveau système de représentations de Galois" denkt man natürlich an das Langlands-Programm; ich weiß nicht, ob dieser Kalauer von Alvarez beabsichtigt ist.)

Eine ausführlichere Analyse der verschiedenen Quellen und Bearbeitungen zu Galois Geschichte findet man bei Tony Rothman Genius and Biographers: The Fictionalization of Evariste Galois (1982).

Das CNRS-Video ist nur bis Freitag dieser Woche verfügbar:

Nachtrag: eine elementare Einführung in Galois Ideen am Beispiel x⁵-x-1=0 heute auf http://images.math.cnrs.fr/Soit-G-un-groupe.html.

 

Autor: Thilo· 2 Kommentare· Permalink· Trackback-URL

Tags: auflösbar· Frankreich· Galois· Geschichte· Gruppentheorie· Legende· Literatur· Mathematik· Mythos· Polynom· Radikale