Späte Ostern

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Spätere Ostern als dieses Jahr gab es zuletzt 1943. Und warum folgt eigentlich meist ein spätes Osterdatum auf ein relativ frühes Osterdatum im Vorjahr?

Ostern ist immer der erste Sonntag nach dem Frühlingsvollmond (also dem ersten Vollmond im Frühling, d.h. frühestens am 21.März).

Der Frühlingsvollmond folgt (fast) einem 19-Jahre-Zyklus:

5. April, 25. März, 13. April, 2. April, 22. März, 10. April, 30. März, 18. April, 7. April, 27. März, 15. April, 4. April, 24. März, 12. April, 1. April, 21. März, 9. April, 29. März, 17. April

(Es gibt noch eine Korrektur im Gregorianischen Kalender, durch die alle 312,5 Jahre der Frühlingsvollmond um einen Tag nach vorne verschoben wird.)

Dieses Jahr war der Frühlingsvollmond am 17. April, also dem zweitspätestmöglichen Termin.
Außerdem war dieser Tag zufällig ein Sonntag, so daß Ostern erst 7 Tage nach diesem Termin sein wird - deshalb dieses Jahr das ungewöhnlich späte Datum.
Man sieht natürlich schon an dieser Liste, daß es kein Zufall ist, daß die extrem späten Ostern dieses Jahr auf sehr frühe Ostern im letzten Jahr folgen. Letztes Jahr der Frühlingsvollmond am 29. März, also relativ früh, Ostersonntag war dann 6 Tage später am 4. April. Aber wie kann man diesen Zusammenhang allgemeiner beweisen und nach welcher Formel berechnet man das Osterdatum?

Weil der Ostertermin nicht nur vom 19-periodischen Frühlingsvollmond, sondern auch vom Wochentag (der nicht nur der 7-periodischen jährlichen Verschiebung, sondern auch dem 4-periodischen Schaltjahr unterliegt) abhängt, beträgt die Periode des Ostertermins mindestens 532 Jahre: 532=19x7x4. In Wirklichkeit beträgt die Periode wegen der Feinheiten des Gregorianischen Kalenders sogar 5,7 Millionen Jahre.
Es gibt natürlich "zufällige" Wiederholungen in kürzerer Zeit. Ostern am spätestmöglichen 25.4. gab es zum Beispiel nicht nur 1943, sondern auch 1666, 1734, 1886.

Man kann sich heute schwer vorstellen, daß die Berechnung des Ostertermins im Spätmittelalter mal die wichtigste praktische Anwendung der Mathematik war, ein richtiger Beruf (sogenannte "Komputisten"). Seit Gauß kennt man aber doch ein relativ einfaches Verfahren, für das man freilich die von Gauß im 1. Kapitel seiner "Disquisitiones Arithmeticae" eingeführte Methode des Rechnens mit Zahlenkongruenzen benötigt.

Gauß' Osterformel geht wie folgt (dabei bezeichnet z.B. Jahr mod 19 den Rest bei Division durch 19 und Jahr div 100 den ganzzahligen Anteil von Jahr/100).

a = Jahr mod 19
b = Jahr mod 4
c = Jahr mod 7
k = Jahr div 100
p = (8k + 13) div 25
q = k div 4
d = (19a + 15 + k - p -q) mod 30
e = (2b + 4c + 6d + 4 + k - q) mod 7
falls d +e < 10: Ostern = (d + e + 22)-ter März
falls d + e > 9: Ostern = (d + e - 9)-ter April

(Es gibt noch ein paar Ausnahmeregelungen.)

Also für 2011:
a = 16, b = 3, c = 2, k = 20, p = 6, q = 5, d = 28, e = 5, d+e=33, also der 24. April
Oder für 2010:
a = 15, b = 2, c = 1, k = 20, p = 6, q = 5, d =9, e = 4, d+e=13, also der 4. April

Es fällt auf, daß sich k, p und q nur dann ändern, wenn ein neues Jahrhundert beginnt. Wenn das (wie in den nächsten 89 Jahren) nicht der Fall ist, wird d von einem Jahr zum nächsten entweder um 19 größer (falls im Vorjahr d <11) oder um 11 kleiner (falls im Vorjahr d>10).
Mit e ist es etwas komplizierter:
- falls d<11 war, wird 2b+4c+6d wird von einem Jahr zum nächsten eigentlich um 120 größer, da man mod 7 rechnet, also um 1 größer (bzw. um 6 kleiner, falls man im Vorjahr e=6 hatte).
- falls d>10 war, wird 2b+4c+6d um 60 kleiner, bei Rechnung mod 7 also um 3 größer oder um 4 kleiner.

Falls man im Vorjahr einen frühen Ostertermin hatte, dann muß d<11 gewesen sein. Dann wird man (nicht immer, aber meist) im nächsten Jahr einen um 20 Tage späteren Ostertermin haben. Es ist also kein Zufall, daß die späten Ostern 2011 auf den relativ frühen Ostertermin 2010 folgen.

Autor: Thilo· 5 Kommentare· Permalink· Trackback-URL

Tags: Gauß· gregorianisch· Kalender· Ostern· Zahlenkongruenzen