Der Höhepunkt der Tagung waren natürlich 3 Vorträge von Hopkins zum kürzlich angekündigten Beweis der Kervaire-Vermutung. Dazu werde ich irgendwann später noch mal einen Artikel schreiben (evtl. auch in der Topologie von Flächen-Reihe), deshalb hier erst mal keine Einzelheiten.

Lott hielt einen Vortrag über "Locally collapsible 3-manifolds", es ging um den berüchtigten Satz 7.4. aus Perelmans Beweis der Thurston-Vermutung, dessen Beweis bei Perelman nur angedeutet wurde, zu dem es inzwischen aber Beweise von Shioya-Yamaguchi, Bessieres-Besson-Boileau-Maillot-Porti, Morgan-Tian und Kleiner-Lott gibt. (Auf Nachfrage versicherte er übrigens, daß inzwischen nicht nur der Beweis der Poincare-Vermutung, sondern auch der Beweis der Thurston-Vermutung als geprüft und gesichert gilt. Darüber hatte es vor einigen Jahren noch heftige Diskussionen gegeben.)

Während Perelmans Arbeit bekanntlich den Ricci-Fluß benutzt, ging es bei Colding um den Mittlere Krümmungs-Fluß, d.h. den Fluß einer Fläche im Raum, wobei der Geschwindigkeitsvektor des Flußes in einem Punkt jeweils durch das negative der mittleren Krümmung gegeben. Die Ergebnisse von Colding-Minicozzi geben starke Einschränkungen bzgl. der möglichen Singularitäten dieses Flußes.

Madsen besprach eine Vermutung von Akita über charakteristische Klassen von Abbildungsklassengruppen Γ_g von Flächen, genauer über den Zusammenhang von Morita-Miller-Mumford-Klassen mit den Chern-Klassen der Darstellung Γ_g-->Sp(2g)-->U(g)

Stolz erklärte, wie man für Morphismen zwischen Kategorien eine Spur definieren kann. (Vorausgesetzt wird dabei, daß die Objekte "dualisierbar" sind, d.h. daß es jeweils ein duales Objekt sowie eine Evaluations- und Koevaluations-Abbildung gibt. Für Vektorräume trifft dies nur dann zu, wenn sie endich-dimensional sind, hier bekommt man also nichts neues. Man kann die Konstruktion aber auf die Bordismenkategorie anwenden. Als Spur eines Bordismus Σ zwischen zwei Kopien derselben Mannigfaltigkeit Y bekommt man dann Σ/~, wobei die beiden Kopien von Y identifiziert werden.)

Eliashberg erklärte seine Berechnung (gemeinsam mit Bourgeois, Ekholm) der Kontakt-Homologie und symplektischen Homologie von Stein-Mannigfaltigkeiten. (Die Ergebnisse lassen sich nicht so kurz zusammenfassen.)

Stern präsentierte einige Teilergebnisse (mit Fintushel) zu der Vermutung, daß jede glatte 4-Mannigfaltigkeit unendlich viele verschiedene glatte Strukturen hat.

Bartels sprach über den Beweis der K- bzw. L-theoretischen Farrell-Jones-Vermutung (mit Lück, Reich) für hyperbolische und (mit Einschränkungen) für CAT(0)-Gruppen. Das ist (unter anderem) ein wesentlicher Schritt zur Klassifikation von Mannigfaltigkeiten (der Dimension > 4) mit den entsprechenden Gruppen als Fundamentalgruppe und beweist zum Beispiel die Borel-Vermutung für diese Mannigfaltigkeiten.

In Bridsons Vortrag ging es um Wirkungen von Abbildungsklassengruppen Mod(Σ_g) auf CAT(0)-Räumen X (als Gruppen nicht-parabolischer Isometrien). Zum Beispiel beweist er, daß es immer einen Fixpunkt gibt, wenn g>dim(X) (und g>2, für g=2 gibt es ein Gegenbeispiel).

In Vogtmanns Vortrag ging es um Wirkungen von Aut(F_n) (die Automorphismengruppe der freien Gruppe) auf dem R^k. Für n>k wurde bewiesen (Bridson-Vogtmann), daß solche Wirkungen entweder trivial sind oder über Z/2Z faktorisieren.

Mit tiefliegenden algebraischen (K-theoretischen) Methoden berechnete Hesselholt die Abbildungsklassengruppe von negativ gekrümmten Mannigfaltigkeiten der Dimension >10.