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30.05.09 · 09:00 Uhr
Chaotische Systeme Teil 2: Der Raum als Donut
Kategorie: Naturwissenschaften · Kommentare: 12
Nachdem ich im letzten Artikel erklärt habe, was ein Phasenraum ist, möchte ich nun eine spezielle Art von Koordinaten erläutern, mit denen man Bahnen im Phasenraum beschreiben kann. Das absolut notwendig, um zu verstehen, wie chaotische Systeme funktionieren. Denn die Phasenraum-Orbits stellen ja die zeitliche Entwicklung eines bestimmten Zustands da. Die Eigenschaften der Bahnen im Phasenraum spiegeln also auch gleichzeitig die Eigenschaften des Systems wieder.Die speziellen Koordinaten heissen "Action-Angle-Coordinates" was auf deutsch soviel wie "Wirkung-Winkel-Koordinaten" bedeutet. Die genaue Ableitung ist ziemlich mathematisch (hier gibt es eine ausführlichere Beschreibung) - deswegen werde ich das ganze an einem Beispiel erklären.
Nehmen wir an, wir haben einen vierdimensionalen Phasenraum, also auch vier Koordinaten. Zwei dieser Koordinaten sind im Idealfall annähernd konstant (das sind die sg. "Actions", also die "Wirkung"), zwei andere ändern sich schnell (das sind die "Angles", also die Winkel). Das kann man sich anschaulich so vorstellen:
Die beiden konstanten Koordinaten definieren einen Torus (also ein Donutförmiges Gebilde): eine Wirkung (r1) beschreibt den großen Radius des Torus, die andere (r2) den kleinen Radius. Man kann nun mit den beiden Winkel einen bestimmten Punkt auf der Oberfläche dieses Torus beschreiben.
Im Bild oben ist das der blaue Punkt, der den aktuellen Zustand des Systems (gegeben durch die beiden Wirkungen und die beiden Winkel) beschreibt. Mit dieser Art von Koordinaten kann man also eine Trajektorie im Phasenraum als Kurve, die sich um einen Torus windet, beschreiben.
Damit kommen wir zu einem weiteren wichtigen Begriff: der Rotationszahl. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie sich eine Trajektorie um den Torus bewegen kann.
In diesem Bild bewegt sich die gelbe Kurve nur um den großen Radius; die grüne nur um den kleinen Radius. Aber im Allgemeinen wird die Bewegung um beide Radien herum stattfinden:
Die orangene Kurve bewegt sich dreimal um den kleinen Radius, während sie sich einmal um den großen bewegt und sich schließt. Die Rotationszahl ist nun genau das Verhältnis der Anzahl der Windungen um die beiden Radien, die nötig sind, bevor sich die Kurve wieder schließt. In diesem Fall ist sie 3/1; also 3.
Es kann auch sein, dass sich die Trajektorie z.B. fünfmal um den kleinen Radius bewegt und zweimal um den großen, bevor sie wieder auf sich selbst trifft. Dann wäre die Rotationszahl 5/2. So eine Trajektorie, die irgendwann wieder auf sich selbst trifft; sich also schließt, nennt man einen periodischen Orbit. Es ist leicht zu sehen, dass das immer dann vorkommt, wenn die Rotationszahl rational ist - also ein Bruch wie 4/3, 2/1, 7/6, 10/3, usw. Es kann allerdings auch sein, dass sich die Kurve nicht mehr schließt. Sie läuft einfach immer weiter um den Torus herum, ohne je wieder auf sich selbst zu treffen. Das sieht dann ungefähr so aus:
In diesem Fall ist die Rotationszahl nicht mehr rational, sondern irrational (kann also nicht mehr durch einen Bruch dargestellt werden; wie z.B. die Wurzel aus 2 oder die Kreiszahl Pi). Im Laufe der Zeit füllt die Trajektorie den Torus immer dichter auf. So eine Bahn nennt man quasiperiodisch. Das ist noch kein Chaos - sondern nur eine andere Form der geordneten Bewegung.
Chaotisch wird der Zustand erst, wenn man die Bahn nicht mehr als Bewegung auf einem Torus darstellen kann. Dann ändern sich auch die beiden Wirkungen (also die Radien des Torus) stark und ich kann keinen Torus mehr definieren, auf dem die Bewegung stattfindet. Die Trajektorie läuft dann ungebunden durch den ganzen Phasenraum.
Ich hoffe, die Erklärung der Bewegung auf dem Torus war halbwegs verständlich - ich beantworte natürlich noch gerne alle auftretenden Fragen!. Im nächsten Teil der Serie werde ich erläutern, wie man diese Beschreibung nutzen kann, um eine sehr einfache und sehr schöne Möglichkeit der Charakterisierung dynamischer Systeme zu finden.
Autor: Florian Freistetter· 12 Kommentare· Permalink· Trackback-URL
Trackbacks (2)
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Kommentare (12)
Da habe ich auch schon von gehört.
Dann wäre dieser Raum faktisch (also aus der Sicht des "Sich-im-Raum-Befindenden") unendlicher Natur, oder?
@Patrick: Der Phasenraum hat immer so viele Dimensionen wie das System Freiheitsgrade hat. Das kann also ein ein-, zwei-, drei-dimensionaler Raum sein. Oder einer mit unendlich vielen Dimensionen. Oder irgendwas dazwischen.
@ Florian:
Hmm, aha.
Interessant in diesem Bezug deine Ausführung:
So eine Bahn nennt man quasiperiodisch. Das ist noch kein Chaos - sondern nur eine andere Form der geordneten Bewegung.
Chaotisch wird der Zustand erst, wenn man die Bahn nicht mehr als Bewegung auf einem Torus darstellen kann. Dann ändern sich auch die beiden Wirkungen (also die Radien des Torus) stark und ich kann keinen Torus mehr definieren, auf dem die Bewegung stattfindet. Die Trajektorie läuft dann ungebunden durch den ganzen Phasenraum.
Das hieße ja, das "Chaos" wäre dann sozusagen aber noch in einem theoretischen Torus- Gebilde, auch wenn er nicht mehr als Torusform erkennbar wäre, oder verstehe ich das falsch?
Oder würde die chaotische Trajektorie den Torus auflösen, sprich: Zu einem Teil des "chaotischen Ablaufes" machen - sozusagen, den Raum zu Chaos auflösen?
@Patrick: Also eine genaue Erklärung würde dauern - ich antworte dann detailliert am Mittwoch, wenn ich aus dem Urlaub zurück bin (vielleicht liest ja noch ein Experte mit und kann das früher machen). Das mit dem Torus gilt nur für geordnete Bewegung. Sobald die Actions nicht mehr konstant sind, gibt es keinen Torus mehr. Wie weit sich die Trajektorie dann im Phasenraum ausbreiten kann, hängt vom System ab. In manchen Systemen ist der Raum beschränkt, in manchen nicht.
@ Florian:
Jo, die Antwort reicht mir erst einmal, danke.
Schönen Urlaub auch...
Moin Patrick!
Auch wenn ich in einem früheren Teil der Serie noch als etwas verwirrter Kommentator aufgetreten bin, versuche ich mal eine Antwort ;)
Eine periodische Bahn auf dem Torus wird nach endlicher Zeit sich wieder in den Schwanz beissen. Das heißt, wenn ich eine periodische Bahn wäre, dann hätte ich irgendwann in der Zukunft genau den gleichen Zustand wie jetzt (Geschwindigkeit und Ort). Die Bahn bleibt für immer auf der Oberfläche des Torus beschränkt, sie ist dabei (bei kleinen Verhältnissen wie z.B 4/3) aber nur als Linie erkennbar, wenn man sich mal die Bahn vom Rechner zeichnen läßt (den Torus könnte man vielleicht erahnen)
Insofern wäre die Periodische Bahn die Bahn, die sich auf einem theoretisch Vorhandenen, aber nicht erkennbaren Torus bewegt.
Die Quasiperiodischen Bahnen haben die Eigenschaft, wie Florian schrieb, dass sie die Oberfläche des Torus (im Allgemeinen) komplett ausfüllen, aber sie bleiben auf seine Oberfläche beschränkt. Wenn man so will, wäre eine unendlich lange Simulation einer quasiperiodischen Bahn ein geeignetes Verfahren, sich einen Donut zu zeichnen - und zwar nur die Oberfläche (der Donut hat nicht nur ein Loch, er ist sogar hohl mit unendlich dünner Wandung). ;)
Tja, und Chaos frißt den Donut auf und rennt dann im Phasenraum rum auf der Suche nach einem stillem Örtchen. Und weil da aber keines gibt, rennt es unendlich lange im ganzen Phasenraum rum.
(Ich hoffe, ich hab da jetzt keine Fehler reingekloppt. Wenn ja, dann wird mich spätestens Florian korrigieren)
Mist, ich muss mal an meinem Leseverstehen arbeiten. Ich hab erst jetzt genau verstanden, was deine Frage ist.
Jupp, der Torus ist nur eine kleine Untermenge vom unendlichen Raum mit einer bestimmten Anzahl von Dimensionen (hier 3), auf dem die Trajektorie festgehalten ist.
Moin Christian, und danke für deine Erklärungen. Sind beide sehr brauchbar für das Gedankengebilde dazu. ;)
Das würde also bedeuten, dass die Trajektorie mehrdimensional im Phasenraum "arbeiten" würde, alsbald der dreidimensionale Torus durch "Chaos" (wie immer dieses in Erscheinung träte) zerfallen würde, oder nicht?
Könnte man die Trajektorie als "Schwingung" bezeichen, die unabhängig jeglicher Basis (also z. B. dem dreidimensionalen Torus) gleichmäßig schwingen würde? Oder ist das an der Thematik vorbeigegriffen?
@Alle: Der Zerfall der Tori ist das Thema von Teil 4 der Serie (am Dienstag).
Das mit dem torus ist wunderbar erklärt.
Gibt es da Literatur dazu?
@Regow: Literatur gibts jede Menge. Aber eben Fachliteratur. Vermutlich wirds zu Topologie und CHaostheorie auch populärwissenschaftliche Bücher geben (da müsste ich erstmal nachsehen) - aber den Action-Angle-Formalismus wird man außerhalb der Fachliteratur kaum antreffen...
Diesen Umstand würde ich als interessierter Dilettant durchaus in Kauf nehmen.
Ich hab Nonlinear Dyn. and Chaos von Strogatz und Die Erfor. des Chaos von Argyris, aber immer ist bei den tori nur von den Winkeln die Rede. Den Strogatz verstehe ich recht gut, den Argyris nur teilweise(Hamiltonsche Systeme und Variationsrechnung für Dummies würde ich mir mal wünschen).