“Wenn sie auch z. B. die Größe einer Fläche so bestimmt, […], gilt diese Diskretion nur als momentane Vorstellung, und in der unendlichen Vielheit der Linien, da der Raum, den sie ausmachen sollen, doch ein beschränkter ist, liegt schon das Aufgehobenseyn ihrer Diskretion.” (Hegel: Wissenschaft der Logik, Kap.45, Anm.1)

Jede zusammenhängende, kompakte, orientierbare Fläche bekommt man durch Ankleben einer Anzahl von Henkeln an die Sphäre:

Es gibt keine anderen.
Wie soll man das beweisen?

Die Definition von Flächen (TvF 159: Flächen kann man durch 2-dimensionale Landkarten überdecken) ist erst mal etwas ‘unhandlich’, man weiß nicht recht, wie man mit dieser Definition etwas anfangen soll.

Handhabbarer wäre es, statt von Landkarten von einer diskreten Struktur auszugehen, zum Beispiel von einer Zerlegung der Fläche in Dreiecke:

< de.wikipedia.org/wiki/Triangulation_(Geodäsie)

Das Bild zeigt eine Triangulierung einer abgeschlossene Teilmengen der Sphäre.
(Eine Triangulierung einer Fläche ist eine Zerlegung in Dreiecke, so daß jedes Dreieck injektiv in die Fläche abgebildet wird, d.h. es kann z.B. nicht vorkommen, daß zwei Ecken des Dreiecks demselben Punkt in der Fläche entsprechen.)

Läßt sich jede Fläche in Dreiecke zerlegen?

Für die im 1. Bild oben gezeichneten Flächen ist es nicht schwer, eine Zerlegung in Dreiecke anzugeben.

i-a027fb48adbeebd427cf95f0c6c60845-200px-Sphere_wireframe_10deg_6r.svg.png

Zum Beispiel kann man diese Zerlegung der Sphäre in 3- und 4-Ecke durch Einzeichnen der Diagonalen in den Vierecken zu einer Triangulierung machen.
Es gibt sogar eine Zerlegung der Sphäre in nur zwei Dreiecke: man zeichne einfach 3 Punkte auf den Äquator, dann sind die obere und untere Halbsphäre jeweils ein sphärisches Dreieck mit diesen 3 Eckpunkten.

i-7dd715a5c3485c289f4b74c61c3993ac-Torus_cycles.png

Für den Torus kann man zum Beispiel diese Zerlegung (TvF 63) nehmen und sie durch Einzeichnen der Diagonalen in den Vierecken wieder zu einer Triangulierung machen.
Es geht natürlich auch einfacher: einen Torus bekommt man ja, indem man ein Quadrat nimmt und jeweils die gegenüberliegenden Seiten verklebt:

i-54aae72ecfc5e6535dc7bd1ec6e4e4c9-200px-TorusAsSquare.svg.png

Das Quadrat läßt sich durch Einzeichnen der Diagonale in 2 Dreiecke zerlegen, damit haben wir dann auch eine Zerlegung des Torus in 2 Dreiecke. (Diese ist allerdings keine Triangulierung im Sinne der in der Mathematik üblichen Definition, weil die Dreiecke NICHT injektiv in den Torus abgebildet werden – die Eckpunkte entsprechen ja alle dem selben Punkt auf dem Torus. Tatsächlich braucht man für eine Triangulierung des Torus mindestens 14 Dreiecke.)

Die Brezel kann man aus dem Achteck durch Verkleben gleichfarbiger Kanten bekommen:

i-54cd8e231b8ea2905cafe3b40391022c-UniversalCoverOctagon_501.gif
i-4b7e49d376cf27bd97af2f0016ae3455-UniversalCoverDoubleTorus_700.gif

Durch Einzeichnen von Diagonalen kann man das Achteck in 6 Dreiecke zerlegen, bekommt also eine Zerlegung der Brezel in 6 Dreiecke. (Wieder ist das keine Triangulierung, weil alle Ecken auf denselben Punkt abgebildet werden. Man kann aber wieder die Dreiecke weiter zerlegen und so eine Triangulierung bekommen.)

Ähnlich läßt sich eine Fläche mit g Henkeln aus einem 4g-Eck durch passendes Verkleben von Kanten gewinnen, und damit bekommt man dann auch für diese Flächen eine Triangulierung.

Triangulierungen von Flächen sind nützlich, weil man die Flächen damit diskretisieren kann. Man hat endlich viele Dreiecke und kann dann zum Beispiel Induktionsbeweise über die Anzahl der Dreiecke führen oder irgendwelche Berechnungen in endlich viele Schritte zerlegen.
Wenn man Triangulierungen für die Klassifikation von Flächen (d.h. den Beweis, daß es keine anderen zusammenhängenden, kompakten, orientierbaren Flächen als die durch Ankleben von Henkeln an die Sphäre konstruierten gibt) nutzen will, reicht es natürlich nicht, wie oben Triangulierungen für ebendiese Beispiele anzugeben, sondern man muß aus der Definition von ‘Flächen’ herleiten, daß jede Fläche eine Triangulierung besitzt. Das ist relativ technisch, folgt aber letztlich aus dem Schönflies-Theorem, um das es nächste Woche gehen wird.


Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136, Teil 137, Teil 138, Teil 139, Teil 140, Teil 141, Teil 142, Teil 143, Teil 144, Teil 145, Teil 146, Teil 147, Teil 148, Teil 149, Teil 150, Teil 151, Teil 152, Teil 153, Teil 154, Teil 155, Teil 156, Teil 157, Teil 158, Teil 159, Teil 160

1 / 2 / Auf einer Seite lesen