Topologie von Flächen CXII

Phasenräume, Kreisbündel und die Kleeblattschlinge.

Letzte Woche hatten wir über die Kleeblatt-Schlinge geschrieben:

Das Komplement der Kleeblattschlinge (also die Punkte in S³, die nicht zum Knoten gehören) ließ sich beschreiben als “Modulraum” der Gitter: jedem Gitter in der Ebene (mit Flächeninhalt 1) entspricht ein eindeutiger Punkt im Komplement der Kleeblattschlinge.
(Allgemein über die Idee “Instead of beginning with a collection of objects and seeking an object to classify them, an object will be studied by seeking a collection of objects that it classifies!” hatten wir mal in TvF 95 geschrieben.)

Andererseits hatten wir in TvF 95 mal über einen anderen “Modulraum” von Gittern geschrieben: damals hatten wir Gitter noch als gleich angesehen, wenn sie durch eine Drehung auseinander hervorgehen. Dadurch erhielt man dann nur einen 2-dimensionalen Modulraum, der der Modulfläche H²/SL(2,Z) entsprach.

Das heißt: im ersten Modulraum (dem Komplement der Kleeblattschlinge) hat man Kreise, die alle demselben Punkt im zweiten Modulraum (der Modulfläche H²/SL(2,Z)) entsprechen.

Das liefert eine andere Beschreibung des Komplements der Kleeblattschlinge – als “Bündel von Kreisen” über der Modulfläche.

Copyright 2010 Jos Leys

Wie gesagt, jeder Kreis entspricht einem Punkt auf der “Modulfläche” aus TvF 91.
Erinnerung: die Modulfläche als H²/SL(2,Z) ist die Fläche, die man erhält, wenn in der unten abgebildeten hyperbolischen Ebene Punkte als gleich angesehen werden, die durch eine der Symmetrien der unten abgebildeten Pflasterung aufeinander abgebildet werden können, vgl. TvF 90.

Das Komplement der Kleeblattschlinge ist also ein Kreisbündel über der Modulfläche.

Tatsächlich handelt es sich hier um ein gutbekanntes Bündel, das sogenannte Einheits-Tangentialbündel der Modulfläche.

Das Tangentialbündel einer Fläche ist das, was man in der Physik als Phasenraum bezeichnet: man hat die Punkte der Fläche und außerdem alle möglichen Geschwindigkeitsvektoren von Bewegungskurven auf der Fläche.Die Geschwindigkeitsvektoren sind natürlich immer tangential an die Fläche. D.h. man bekommt in jedem Punkt die Tangentialebene, wie im Bild rechts, vgl. TvF 51.(Eine sehr ausführliche Erklärung des 2-dimensionalen Phasenraums eines 1-dimensionalen Pendels gab es mal hier bei Astrodicticum Simplex. In unserem Fall ist das Tangentialbündel der Fläche natürlich 4-dimensional.)Quelle: https://www2.scc-fl.edu/lvosbury/CalculusIII_Folder/ExamplesForSection127.htm

Das Einheitstangentialbündel besteht , per Definition, nur aus den Geschwindigekitsvektoren, die Länge 1 haben. (Das Einheitstangentialbündel einer Fläche ist also 3-dimensional.)

Man kann sehen, daß das Einheitstangentialbündel der Modulfläche H²/SL(2,Z) gerade der Modulraum von Gittern (mit Flächeninhalt 1) ist.
Jedes solche Gitter läßt sich durch eine Matrix aus SL(2,R) aus dem rechtwinkligen Gitter erhalten. Eine Matrix aus SL(2,Z) bildet dieses Gitter auf sich selbst ab. Der Modulraum solcher Gitter ist also SL(2,R)/SL(2,Z). Andererseits wirkt die Gruppe SL(2,R) durch Isometrien auf der hyperbolischen Ebene H² und damit auch auf dem Einheitstangentialbündel. PSL(2,R) entspricht dann genau dem Einheitstangentalbündel der hyperbolischen Ebene und SL(2,R)/SL(2,Z) entspricht dem Einheitstangentialbündel von H²/SL(2,Z).

Mit Hilfe der beiden Modulräume von Gittern bekommt man also letztlich, daß das Komplement der Kleeblattschlinge gleich dem Einheitstangentialbündel der Modulfläche ist. Die oben im Bild von Jos Leys dargestellte Zerlegung in Kreise entspricht gerade den Einheitskreisen über den Punkten der Modulfläche.

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