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20.01.12 · 16:16 Uhr

Topologie von Flächen CCIII

Kategorie: Naturwissenschaften

Vektorfelder auf Flächen

Nullstellen von Vektorfeldern

Quelle

Vor 2 Wochen hatten wir erwähnt (aber noch nicht bewiesen), daß jedes Vektorfeld auf der Sphäre Nullstellen haben muß. Eine genauere Formulierung gab es letzte Woche: für jedes Vektorfeld auf der Sphäre muß die Summe der Indizes der Nullstellen gleich 2 sein. Den Index einer Nullstelle hatten wir ebenfalls letzte Woche definiert:
in den beiden ersten Bildern hat die Nullstelle Index 1, im dritten Bild Index -1:

Quelle

Vektorfelder auf Flächen

Statt sich nur für Vektorfelder auf Sphären zu interessieren, kann man auch gleich Vektorfelder auf beliebigen Flächen betrachten. Die Verallgemeinerung der obigen Behauptung (daß auf der Sphäre die Summe der Indizes immer 2 ist) ist dieser Satz von Poincaré:

Wenn man ein Vektorfeld auf einer Fläche mit g Henkeln hat, dann ist die Summe der Indizes der Nullstellen des Vektorfeldes gleich 2-2g.

Insbesondere kann es nur dann ein Vektorfeld ohne Nullstellen geben, wenn 2-2g=0, d.h. g=1 ist, also auf dem Torus.

Auf dem Torus gibt es tatsächlich durchaus Vektorfelder ohne Nullstellen, zum Beispiel dieses:

oder natürlich auch einfach das Vektorfeld, das immer in Richtung der jeweiligen Longitude zeigt, oder das Vektorfeld, das immer in Richtung des jeweiligen Meridians zeigt, ...

2-2g

Woher kommt die Zahl 2-2g?
2-2g ist gerade die Euler-Charakteristik der Fläche mit g Henkeln, d.h.:
wenn man die Fläche in Polygone (d.h. n-Ecke, z.B. Dreiecke) zerlegt, dann ist 2-2g=E-K+F, wobei E,K,F die Anzahl der Ecken, Kanten und Polygone ist.
(Diese Gleichung hatten wir in TvF 4 für die Sphäre und in TvF 6 allgemein für die Fläche mit g Henkeln bewiesen.)

Quelle

Den Satz von Poincaré kann man also auch so formulieren: für ein Vektorfeld auf einer triangulierten Fläche ist die Summe der Indizes der Nullstellen gleich E-K+F.
Für den Beweis ist diese Formulierung besser geeignet, weil sie das Problem sozusagen lokalisiert: man kann sich jetzt auf das Vektorfeld in der Umgebung der einzelnen Ecken, Kanten, Dreiecke konzentrieren und am Ende alles zusammenzählen.

Ein Beispiel

Wenn man eine Fläche trianguliert (in Dreiecke zerlegt) hat, kann man ein spezielles Vektorfeld konstruieren wie folgt:
man hat Nullstellen in allen Ecken, in den Mittelpunkten aller Seiten und in den Schwerpunkten jedes Dreiecks,
auf den Seiten zeigt das Feld jeweils in Richtung des Seitenmittelpunkts,
innerhalb der Dreiecke fließt das Feld zum Schwerpunkt:

Die Ecken und die Dreiecksschwerpunkte sind Nullstellen vom Index 1 (Quellen bzw. Senken),
die Seitenmittelpunkte sind Nullstellen vom Index -1 (Sattelpunkte),
man hat also E+F Nullstellen vom Index 1, K Nullstellen vom Index -1,
in diesem speziellen Beispiel ist damit die Summe der Indizes der Nullstellen tatsächlich E-K+F, also 2-2g.

Das ist natürlich nur ein spezielles Beispiel und für ein beliebiges Vektorfeld auf einer Fläche wird man nicht immer eine Triangulierung finden, bzgl. der das Vektorfeld gerade so aussieht.
Der allgemeine Beweis benutzt aber jedenfalls auch Triangulierungen der Fläche und untersucht dann das Aussehen des Vektorfeldes in den einzelnen Dreiecken, dazu nächste Woche.

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Autor: Thilo· 0 Kommentare· Permalink· Trackback-URL

Tags: Fläche· Fluß· Index· Nullstelle· Poincare· Torus· Triangulierung· Vektorfeld