Topologie von Flächen CXCVI

Kategorie: Naturwissenschaften

Homotopiegruppen von Flächen.

In den letzten Wochen hatten wir über Abbildungen von Sphären in Sphären geschrieben, insbesondere über die Klassifikation (bis auf Homotopie) von stetigen Abbildungen f:Sⁿ-->S², also die Berechnung der Homotopiegruppen π_nS². (Die waren ziemlich kompliziert, einige Beispiele hatten wir letzte Woche angegeben.)
Die selbe Frage kann man natürlich auch für andere Flächen F stellen, zum Beispiel für den Torus T²: was sind die Homotopiegruppen π_nT², d.h. wieviele verschiedene Homotopieklassen von Abbildungen Sⁿ-->T² gibt es?
(Strenggenommen müßte man hier wieder zwischen den in der Definition von π_n verwendeten basispunkterhaltenden Homotopieklassen und allgemeinen Homotopieklassen unterscheiden. In diesem Fall ist der Unterschied allerdings egal: es wird sich herausstellen, daß π_nT²=0 für n≥2, und wegen [Sⁿ,X]=π_nX/π₁X (TvF 192) folgt daraus automatisch, daß auch nicht-basispunkterhaltende Abbildungen Sⁿ-->T² alle homotop zueinander sein müssen.)

================>

Homotopiegruppen des Torus

Wir behaupten, daß man jede 2-oder höher-dimensionale Sphäre im Torus T² auf einen Punkt zusammenziehen kann, daß also π_nT²=0 für n≥2. (Für n=1 ist die Fundamentalgruppe π₁T² isomorph zu Z², wie wir in TvF 28 mal veranschaulicht hatten.)

Um das zu beweisen, erinnern wir zunächst noch einmal (aus TvF 63), wie man eine Überlagerung der Ebene über dem Torus bekommt.

Der Torus ist ja ein Produkt zweier Kreise:

Und die Ebene ist das Produkt zweier Geraden. In TvF 62 hatten wir gezeigt, wie die Ebene den Kreis überlagert:

Quelle: Bergeron: Le monde automorphe de Thomas Pynchon
Also überlagert die Ebene (das Produkt zweier Geraden) den Torus (das Produkt zweier Kreise):

Quelle: Ghys: Geometriser l'espace

Nun ist es ganz offensichtlich, daß man in der Ebene jede Sphäre auf einen Punkt zusammenziehen kann - einfach indem man die gesamte Ebene auf einen Punkt zusammenzieht, etwa mit der Homotopie H((x,y),t)=((1-t)x,(1-t)y)).

================>

Wir behaupten jetzt, daß man dann auch im Torus jede Sphäre auf einen Punkt zusammenziehen kann.
Dafür genügt es zu zeigen, daß sich jede Abbildung Sⁿ-->T² zu einer Abbildung Sⁿ-->R² 'heben' läßt: denn dann kann man die Homotopie der Sphäre 'oben' im R² nehmen und sie zu einer Homotopie 'unten' in T² projizieren.
Sei also f:Sⁿ-->T² eine stetige Abbildung. Die Sphäre Sⁿ kann man sich zusammengesetzt denken aus Wegen vom Nord- zum Südpol. Diese Wege haben alle einen gemeinsamen Startpunkt (den Nordpol) und einen gemeinsamen Endpunkt (den Südpol) und sind ansonsten disjunkt. Man kann sich eine Abbildung der Sphäre Sⁿ in irgendeinen Raum X also denken als das Ergebnis einer n-1-dimensionalen Homotopie von Wegen mit festgehaltenem Endpunkt, wobei Anfangs-und Endpunkt der Homotopien jeweils der selbe Weg ist: 200px-Sphere_wireframe_10deg_6r.svg.png

Durch f werden diese Wege abgebildet in Wege im Torus T², alle mit demselben Start- und Endpunkt. Sei x∈T² der gemeinsame Starpunkt und wähle ein X∈R², das von der Überlagerung auf x projiziert wird. 'Offensichtlich' kann man jeden in x startenden Weg zu einem in X startenden Weg heben und ebenso 'offensichtlich' kann man jede Homotopie hochheben. (Man zerlege im ersten Fall das Intervall [0,1] bzw. im zweiten Fall das der Homotopie zugrundeliegende Quadrat [0,1]x[0,1] in hinreichend kleine Stücke, deren Bilder in gleichmäßig überlagerten ("evenly covered") Umgebungen liegen. Dann kann man den Weg bzw. die Homotopie Schritt für Schritt nacheinander in jeder der gleichmäßig überlagerten Umgebungen hochheben.) Dasselbe funktioniert auch für 'n-1-dimensionale Homotopien' [0,1]x[0,1]^n-1. Wenn wir uns also die Abbildung f:Sⁿ-->T² von der Sphäre in den Torus als Ergebnis einer n-1-dimensionalen Homotopie von Wegen mit festgehaltenem Endpunkt denken, dann kann man nicht nur jeden der Wege, sondern auch die (endpunkt-erhaltende) Homotopie zu einer Abbildung in den R² hochheben. Insbesondere haben die Wege alle denselben Endpunkt und wir haben unsere Abbildung f:Sⁿ-->T² zu einer Abbildung Sⁿ-->R² hochgehoben.
Wie gesagt folgt daraus, daß f homotop zur konstanten Abbildung sein muß: man nimmt die offensicthliche Homotopie für die hochgehobene Abbildung im R² und projiziert sie zu einer Homotopie im Torus.

Allgemein ist es ein bekannter (und analog zu oben elementar zu beweisender) Satz, daß eine Überlagerung p:X-->Y immer einen Isomorphismus der Homotopiegruppen π_n-->π_nY für n≥2 gibt. Insbesondere, wenn X kontrahierbar (TvF 40) ist, dann ist π_nY=0 für n≥2. (Solche Räume Y nennt man 'asphärisch' oder Eilenberg-MacLane-Räume.)

Homotopiegruppen hyperbolischer Flächen

Mit diesem Argument kann man auch für alle Flächen F mit mehr als einem Henkel begründen, daß π_nF=0 für n≥2.

Tatsächlich gibt es für Flächen mit mindestens zwei Henkeln ja eine Überlagerung durch die hyperbolische Ebene (TvF 66)

====>

Quelle: Mathworld

Ebenso wie die euklidische Ebene ist auch die hyperbolische Ebene offensichtlich kontrahierbar. Also kann man jede Abbildung einer Sphäre in die hyperbolische Ebene auf einen Punkt zusammenziehen. (D.h. sie ist homotop zu einer konstanten Abbildung.)

Mit demselben Beweis wie oben folgt dann π_nF=0 für n≥2:
Jede stetige Abbildung f:Sⁿ-->F läßt sich (mit demselben Beweis wie oben für die Überlagerung des Torus durch die euklidische Ebene) hochheben zu einer Abbildung in die hyperbolische Ebene, dort ist sie offensichtlich homotop zu einer konstanten Abbildung, diese Homotopie projiziert man zu einer Homotopie der ursprünglichen Abbildung f:Sⁿ-->F.

Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136, Teil 137, Teil 138, Teil 139, Teil 140, Teil 141, Teil 142, Teil 143, Teil 144, Teil 145, Teil 146, Teil 147, Teil 148, Teil 149, Teil 150, Teil 151, Teil 152, Teil 153, Teil 154, Teil 155, Teil 156, Teil 157, Teil 158, Teil 159, Teil 160, Teil 161, Teil 162, Teil 163, Teil 164, Teil 165, Teil 166, Teil 167, Teil 168, Teil 169, Teil 170, Teil 171, Teil 172, Teil 173, Teil 174, Teil 175, Teil 176, Teil 177, Teil 178, Teil 179, Teil 180, Teil 181, Teil 182, Teil 183, Teil 184, Teil 185, Teil 186, Teil 187, Teil 188, Teil 189, Teil 190, Teil 191, Teil 192, Teil 193, Teil 194, Teil 195