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17.08.11 · 13:20 Uhr

Google-Doodle für Fermat

Kategorie: Naturwissenschaften  ·  Kommentare: 5

Ein neues Google-Logo zum angeblich 410. Geburtstag:

"angeblich", weil das Geburtsdatum 17.8.1601 unter Historikern umstritten ist. Zwar findet sich für den 20.8.1601 ein Eintrag im Taufregister. Klaus Barner hat aber in einer 2001 veröffentlichten Arbeit argumentiert, daß es sich bei dem 1601 geborenen Pierre de Fermat um ein (früh verstorbenes?) Kind aus der ersten Ehe von Fermats Vater handelt, während der gleichnamige bekannte Mathematiker der zweiten Ehe des Vaters entstammt und vermutlich 1607 oder 1608 geboren wurde.

Artikel zum Geburtstag gibt es heute bei Stern und Welt.

Leider ist es mir trotz mehrmaligen Vergrößerns nicht gelungen, die kleingeschriebenen Texte im Doodle zu entziffern. Vielleicht handelt es sich um eine Variation von "Ich habe einen wunderbaren Beweis, aber der Rand ist zu schmal, ihn zu fassen"?

Klar ist jedenfalls, daß rechts oben ein rechtwinkliges Dreieck abgebildet ist, vielleicht eines mit ganzzahligen Kantenlängen? Sicherlich nicht 3,4,5, eher vielleicht schon 7,24,25. Das wäre dann nach Pythagoras eine ganzzahlige Lösung von x²+y²=z².

Daß es für n>2 keine ganzzahligen Lösungen von xⁿ+yⁿ=zⁿ gibt, ist die berühmte Fermat-Vermutung. Für n=4 läßt sie sich noch relativ einfach beweisen, einen Beweis für n=3 fand Euler im 18. Jahrhundert. Die Beweis-Versuche für größere n haben dann die Entwicklung der Zahlentheorie in den letzten Jahrhunderten stark beeinflußt.
Im 19. Jahrhundert entdeckte Ernst Kummer im Zusammenhang mit seinen Arbeiten über die Fermat-Vermutung, daß es Zahlkörper gibt, in deren Ganzheitsringen die Primfaktorzerlegung nicht eindeutig ist. In heutiger Sprache sind diese Ringe keine Hauptidealringe: es gibt Ideale, die nicht von einem einzelnen Element erzeugt werden. (Kummer bezeichnete diese als "ideale Zahlen", daher der heute gebräuchliche Begriff "Ideal".) Mit der zu diesem Zweck begründeten Ideal-Theorie konnte Kummer die Fermat-Vermutung dann zumindest für reguläre Primzahlen beweisen.
Später im 20. Jahrhundert entdeckte man, daß sich mit einer Lösung der Fermat-Gleichung eine nicht-modulare elliptische Kurve konstruieren ließe. Daß es solche nicht-modularen elliptischen Kurven jedoch nicht geben kann, wurde zunächst in einem (für den Beweis der Fermat-Vermutung ausreichenden) Spezialfall von Andrew Wiles und später im allgemeinen Fall von Breuil-Conrad-Diamond-Taylor bewiesen. (Dieser Modularitätssatz ist wiederum ein Spezialfall der 2006 von Khare-Winterberger-Kisin bewiesenen Serre-Vermutung über Galois-Darstellungen und Modulformen.)

Autor: Thilo· 5 Kommentare· Permalink· Trackback-URL

Tags: diophantisch· elliptische Kurve· Fermat· ganzzahlig· Geschichte· Google· Ideal· Kummer· modular· Modulform· Zahlentheorie