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25.05.11 · 11:37 Uhr
Visualisierung unendlicher Summen III
Kategorie: Naturwissenschaften · Kommentare: 5
1/3 + 1/9 + 1/27 + ... = 1/2 mit Dreiecken statt Rechtecken.
Wir hatten hier mal über einige Veranschaulichungen unendlicher Summen geschrieben, zum Beispiel über das Bild oben (von Big Ideas), das die Summe 1/3 + 1/9 + 1/27 + ... = 1/2 visualisiert.
Eine im Prinzip äquivalente Veranschaulichung derselben Summe findet man bei Bill the Lizard:
Man muß hier natürlich kurz nachdenken, warum die Summe gerade 1/2 ist, also warum die grünen Flächen über der Diagonale gerade den grauen Flächen unter der Diagonale entsprechen.
In einem anderen Beitrag hatten wir mal (am Beispiel der Summe 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ...) diskutiert, ob Veranschaulichungen mit Dreiecken "besser" sind als Veranschaulichungen mit Quadraten. (Auch in der Topologie definiert man singuläre Homologie ja lieber mit Simplizes statt mit Würfeln.)
Bei Matt Henderson findet sich jetzt (neben vielen anderen interessanten Visualisierungen) auch noch eine Veranschaulichung von 1/3 + 1/9 + 1/27 + ... = 1/2 mit Dreiecken statt Quadraten.
Man erkennt jedenfalls sofort, daß die Summe 1/2 ist. Dafür muß man diesmal vielleicht kurz überlegen, warum die Summanden 1/3n sind.
Visualisierung unendlicher Summen I
Visualisierung unendlicher Summen II
Autor: Thilo· 5 Kommentare· Permalink· Trackback-URL
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Kommentare (5)
Eine Visualisierung der Ramanujan Summe wäre bestimmt interessant :)
1 + 2 + 3 + 4 .... = -1/12
Mir scheint, man muss vorher wissen, dass
1/2 + 1/4 + 1/8 + ... =1 ?
Hab mich geirrt. Man muss vorher wissen, dass
2/3 + 2/9 + 2/27 + ... = 1
(damit sich dieses Bild ergibt).
Oder?
Nicht unbedingt. Man sieht sofort, daß das erste rote Dreieck 1/3 des gesamten Flächeninhalts ausmacht und daß die Summe aller roten Dreiecke 1/2 des gesamten Flächeninhalts ausmacht. Man muß dann halt noch wissen, daß sich das zweite rote Dreieck aus dem ersten roten durch Stauchung um ein Drittel (in y-Richtung) ergibt usw.
Thanks very much for the link!
Matt