Ulrich Berger· 16.05.11 · 19:15 Uhr

Eine "Liste besonderer Zahlen" ist Quatsch, denn: JEDE natürliche Zahl ist besonders!

Beweis: Angenommen, nicht jede natürliche Zahl ist besonders. Sei M die Menge der natürlichen Zahlen, die nicht besonders sind. Per Annahme ist M eine nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen, besitzt also ein Minimum m. Dieses m ist die kleinste nicht besondere Zahl. Das macht m natürlich zu einer besonderen Zahl, was auf einen Widerspruch führt. Also ist M leer und jede natürliche Zahl ist besonders. QED

 Christian A.· 16.05.11 · 19:55 Uhr

LOL!

(NB: Ich neige nicht zum lollen, aber diesmal musste es sein!)

 Odysseus· 17.05.11 · 01:20 Uhr

@Ulrich Berger: Deswegen ist die Liste ja auch incomplete!

Übrigens stellt sich noch die Frage, ob auch alle reellen Zahlen besonders sind. Kannst du deinen Beweis verallgemeinern, oder gibt es Zahlen in R ohne besondere Eigenschaften?

 Stefan W.· 17.05.11 · 03:42 Uhr

@Ulrich Berger: Gödel/Escher/Bach, oder?

 tetrian· 17.05.11 · 07:50 Uhr

Wenn alle Zahlen besonders sind, dann ist das ja nichts besonderes mehr sondern etwas triviales. Das ist doch ebenfalls ein Widerspruch. Viel eher ließe sich doch dann schließen dass das Kriteerium "Besonders" nicht als festes Beschreibendes Kriterium zulässig ist weil Paradox.
Irre ich?

 Alexander· 17.05.11 · 10:17 Uhr

@Odysseus: Ist es denn notwendig, dass man die besondere Eigenschaft einer Zahl beschreiben können muss? In diesem Fall gäbe es natürlich reelle Zahlen, die nicht besonders sind.

 Ulrich Berger· 17.05.11 · 12:02 Uhr

@ Odysseus:
Nein, in den reellen Zahlen haben nichtleere Teilmengen nicht notwendigerweise ein Minimum, deshalb geht der Beweis nicht durch.

@ Stefan W.:
Wer das Theorem als erstes bewiesen hat, weiß ich nicht, aber ich selbst wurde nicht durch GEB sondern durch Martin Gardner darauf aufmerksam: http://books.google.com/books?id=QpPlxwSa8akC&pg=PA148#v=onepage&q&f=false

@ tetrian:
Das dürfte der Grund sein, warum der angeführte Beweis i.a. als humoristisch betrachtet wird... http://en.wikipedia.org/wiki/Interesting_number_paradox

 Stefan W.· 18.05.11 · 03:01 Uhr

@Alexander: Welche reelle Zahl wäre denn nicht besonders?

 pi· 18.05.11 · 14:43 Uhr

pi !

 Alexander· 18.05.11 · 15:50 Uhr

@Stefan W.

Keine Ahnung. Aber die Menge aller Beschreibungen (eine besondere Zahl sollte wahrscheinlich eine benötigen, die gerade die Besonderheit beschreibt) ist abzählbar, die Menge der reellen Zahlen überabzählbar.

 JK· 20.05.11 · 17:58 Uhr

Zu den reellen Zahlen: Gegeben eine beliebige besondere reelle Zahl, die "Berger-Zahl a". Ihr nächster angebbarer größerer Nachbar (die obere Berger-Grenze zur Berger-Zahl a) wird dadurch auch zu einer besonderer Zahl. Jede Zahl dazwischen gehört somit zu einem durch zwei besondere Zahlen definierten Berger-Intervall zur Berger-Zahl a, ist damit per definitionem ebenfalls eine besondere Zahl. Gleiches gilt für die Zahlen zwischen der unteren Berger-Grenze und der Berger-Zahl a. Ergo: jede reelle Zahl ist eine besondere Zahl.

QED, oder auch nicht. Sofern der Beweis mit der Berger-Zahl a fehlerhaft ist, könnte man ihn einmal für die Kuessner-Zahl x durchrechnen.

 JK· 20.05.11 · 18:08 Uhr

Ich vergaß: Die Kuessner-Zahl x ist eine mit Wahrscheinlichkeit 0 (siehe dazu http://www.scienceblogs.de/mathlog/2011/03/wahrscheinlichkeit-null.php ) zufällig aus einem Berger-Intervall ausgewählte Zahl. Eine mit Wahrscheinlichkeit 0 ausgewählte Zahl ist als unmögliche Realisation einer Auswahl vermutlich immer eine besondere Zahl ("JK´sche Vermutung").

 Shawn· 21.05.11 · 23:48 Uhr

genial. für einen nerd ein echter genuss ;)

 matthias· 25.05.11 · 22:46 Uhr

Also wenn Brüche aus besonderen Zahlen und Grenzwerte von Folgen besonderer Zahlen wieder besonders sind (und das will ich doch meinen!) dann folgt aus der Besonderheit der natürlichen Zahlen, der -1 (größte negative Zahl) und von i (bekannteste eingebildete Zahl) die Besonderheit aller komplexer Zahlen...
Der Beweis wird als kleine Übungsaufgabe dem Leser überlassen.

 adenosine· 31.05.11 · 07:12 Uhr

und die 42 ist auch dabei

 Browsersim· 10.06.11 · 07:51 Uhr

sehr praktisch, danke für den Hinweis :)