« vorheriger Beitrag  · nächster Beitrag »

15.04.11 · 21:34 Uhr

Topologie von Flächen CLXIII

Kategorie: Naturwissenschaften  ·  Kommentare: 6

Schöne Fliesen und warum man Kreise in der Ebene nicht verknoten kann.

Um mit Flächen "arbeiten" zu können, braucht man etwas handhabbares, zum Beispiel eine Zerlegung der Fläche in Dreiecke (eine "Triangulierung", einige Beispiele hatten wir vor 2 Wochen).

Wie beweist man, daß sich jede Fläche triangulieren läßt? Ein wichtiger Schritt beim Beweis ist der Satz von Schoenflies, um den es heute geht.

Satz von Schoenflies

Arthur Moritz Schoenflies (der übrigens in den 20er Jahren Rektor der Universität Frankfurt und Präsident der DMV war) ist vor allem durch seine Klassifikation der Symmetriegruppen von Kristallstrukturen bekannt. (Die Klassifikation der schönen Fliesen, also der 2-dimensionalen Symmetriegruppen, stammt hingegen von Polya. Man verzeihe das platte Wortspiel.)

In der Topologie ist er bekannt für einen scheinbar offensichtlichen Satz:

Wenn K eine geschlossene Kurve (ohne Selbstschnitte) in der Ebene R² ist, dann gibt es eine stetige (und stetig umkehrbare) Abbildung f:R²-->R², die K auf den Einheitskreis abbildet.

===>

Gegenbeispiele

Wenn man sich überzeugen will, daß ein Satz nicht offensichtlich ist, sollte man sich anschauen, was passieren würde, wenn man die Voraussetzungen etwas abändert.

Zunächst gilt der Satz von Schoenflies nicht, wenn man auch Kurven mit Selbstsschnitten zuläßt. (Das ist aber natürlich völlig banal.)

Interessanter wird es, wenn man sich höherdimensionale Analoga anschaut. Was ist zum Beispiel mit geschlossenen Kurven im 3-dimensionalen Raum?

Das Bild zeigt den Achterknoten. Weil er verknotet ist, kann man ihn nicht mit einer stetigen und stetig umkehrbaren Abbildung f:R³-->R³ auf den unverknoteten Einheitskreis abbilden.
Es gibt noch viele andere Knoten im 3-dimensionalen Raum, für die dasselbe gilt.

Den Satz von Schoenflies könnte man also auch so formulieren: In der Ebene ist jede Kurve unverknotet.

Gut, man könnte sagen, die Analogie zwischen 2- und 3-dimensionalem überzeugte hier ohnehin nicht: im 3-dimensionalen Raum hat man halt mehr Platz, um Kurven zu verknoten.

Aber, und das ist dann wirklich überraschend, auch das Analog des Satzes von Schoenflies für Flächen im 3-dimensionalen Raum (statt Kurven im 2-dimensionalen Raum) stimmt nicht.

Bei dieser Fläche handelt es sich einfach um eine 2-dimensionale Sphäre im 3-dimensionalen Raum, die sogenannte "Alexander-gehörnte Sphäre". Man kann sie aber nicht mit einer stetigen und stetig umkehrbaren Abbildung f:R³-->R³ auf die Einheitssphäre abbilden.

c: BernhardH

Eine schöne Grafik findet man auf Seite 176 von Hocking-Young und eine ausführliche Beschreibung der Konstruktion auf Seite 170ff. von Hatcher. In einem Hörsaal der Bochumer Universität soll es ein Bild dieser Sphäre geben.
Ich war vor gut 2 Jahren mal in Bochum und hatte da auch einige Fotos gemacht. An den Hörsaal hatte ich nicht gedacht, aber immerhin ist unter den Fotos eines mit einem Plakat zur Alexander-Sphäre (es handelt sich um eine Vorlesungsankündigung zur "Algebraischen Topologie"):

Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136, Teil 137, Teil 138, Teil 139, Teil 140, Teil 141, Teil 142, Teil 143, Teil 144, Teil 145, Teil 146, Teil 147, Teil 148, Teil 149, Teil 150, Teil 151, Teil 152, Teil 153, Teil 154, Teil 155, Teil 156, Teil 157, Teil 158, Teil 159, Teil 160, Teil 161, Teil 162

 

Autor: Thilo· 6 Kommentare· Permalink· Trackback-URL

Tags: Alexander· Ebene· Knoten· Raum· Schoenflies· Sphäre· stetig