Topologie von Flächen CLXI

Kategorie: Naturwissenschaften

"Wenn sie auch z. B. die Größe einer Fläche so bestimmt, [...], gilt diese Diskretion nur als momentane Vorstellung, und in der unendlichen Vielheit der Linien, da der Raum, den sie ausmachen sollen, doch ein beschränkter ist, liegt schon das Aufgehobenseyn ihrer Diskretion." (Hegel: Wissenschaft der Logik, Kap.45, Anm.1)

Jede zusammenhängende, kompakte, orientierbare Fläche bekommt man durch Ankleben einer Anzahl von Henkeln an die Sphäre:

Es gibt keine anderen.
Wie soll man das beweisen?

Die Definition von Flächen (TvF 159: Flächen kann man durch 2-dimensionale Landkarten überdecken) ist erst mal etwas 'unhandlich', man weiß nicht recht, wie man mit dieser Definition etwas anfangen soll.

Handhabbarer wäre es, statt von Landkarten von einer diskreten Struktur auszugehen, zum Beispiel von einer Zerlegung der Fläche in Dreiecke:

de.wikipedia.org/wiki/Triangulation_(Geodäsie)

Das Bild zeigt eine Triangulierung einer abgeschlossene Teilmengen der Sphäre.
(Eine Triangulierung einer Fläche ist eine Zerlegung in Dreiecke, so daß jedes Dreieck injektiv in die Fläche abgebildet wird, d.h. es kann z.B. nicht vorkommen, daß zwei Ecken des Dreiecks demselben Punkt in der Fläche entsprechen.)

Läßt sich jede Fläche in Dreiecke zerlegen?

Für die im 1. Bild oben gezeichneten Flächen ist es nicht schwer, eine Zerlegung in Dreiecke anzugeben.

200px-Sphere_wireframe_10deg_6r.svg.png

Zum Beispiel kann man diese Zerlegung der Sphäre in 3- und 4-Ecke durch Einzeichnen der Diagonalen in den Vierecken zu einer Triangulierung machen.
Es gibt sogar eine Zerlegung der Sphäre in nur zwei Dreiecke: man zeichne einfach 3 Punkte auf den Äquator, dann sind die obere und untere Halbsphäre jeweils ein sphärisches Dreieck mit diesen 3 Eckpunkten.

Für den Torus kann man zum Beispiel diese Zerlegung (TvF 63) nehmen und sie durch Einzeichnen der Diagonalen in den Vierecken wieder zu einer Triangulierung machen.
Es geht natürlich auch einfacher: einen Torus bekommt man ja, indem man ein Quadrat nimmt und jeweils die gegenüberliegenden Seiten verklebt:

Das Quadrat läßt sich durch Einzeichnen der Diagonale in 2 Dreiecke zerlegen, damit haben wir dann auch eine Zerlegung des Torus in 2 Dreiecke. (Diese ist allerdings keine Triangulierung im Sinne der in der Mathematik üblichen Definition, weil die Dreiecke NICHT injektiv in den Torus abgebildet werden - die Eckpunkte entsprechen ja alle dem selben Punkt auf dem Torus. Tatsächlich braucht man für eine Triangulierung des Torus mindestens 14 Dreiecke.)

Die Brezel kann man aus dem Achteck durch Verkleben gleichfarbiger Kanten bekommen:

Durch Einzeichnen von Diagonalen kann man das Achteck in 6 Dreiecke zerlegen, bekommt also eine Zerlegung der Brezel in 6 Dreiecke. (Wieder ist das keine Triangulierung, weil alle Ecken auf denselben Punkt abgebildet werden. Man kann aber wieder die Dreiecke weiter zerlegen und so eine Triangulierung bekommen.)

Ähnlich läßt sich eine Fläche mit g Henkeln aus einem 4g-Eck durch passendes Verkleben von Kanten gewinnen, und damit bekommt man dann auch für diese Flächen eine Triangulierung.

Triangulierungen von Flächen sind nützlich, weil man die Flächen damit diskretisieren kann. Man hat endlich viele Dreiecke und kann dann zum Beispiel Induktionsbeweise über die Anzahl der Dreiecke führen oder irgendwelche Berechnungen in endlich viele Schritte zerlegen.
Wenn man Triangulierungen für die Klassifikation von Flächen (d.h. den Beweis, daß es keine anderen zusammenhängenden, kompakten, orientierbaren Flächen als die durch Ankleben von Henkeln an die Sphäre konstruierten gibt) nutzen will, reicht es natürlich nicht, wie oben Triangulierungen für ebendiese Beispiele anzugeben, sondern man muß aus der Definition von 'Flächen' herleiten, daß jede Fläche eine Triangulierung besitzt. Das ist relativ technisch, folgt aber letztlich aus dem Schönflies-Theorem, um das es nächste Woche gehen wird.

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