Sim· 27.02.11 · 12:13 Uhr

Ich versteh leider nur Kraut und Rüben aber wenn ich sowas lese dann werd ich mir immer wieder bewusst wie viel man noch lernen kann auf dieser Welt. Irgendwann will ich das auch mal kapiern, das hab ich mir fest vorgenommen.

 Thilo· 27.02.11 · 18:17 Uhr

Geht mir auch so...

 volki· 01.03.11 · 17:14 Uhr

Hallo Thilo,

Ich habe da eine Frage (kurze und lange Version):

Kurz: Was ist der Grund warum man sich die Hodgezahlen h^(1,1) und h^(2,1) ansieht?

Lang: Ich weiß nicht viel (eigentlich gar nichts) über die Klassifikation von 3-folds und 3-dimensionalen Calabi-Yau-folds (weiß man darüber überhaupt etwas genaueres?). Aber warum sind die anderen Hodgezahlen nicht auch interessant? Insbesondere weiß man was über minimale Betti-Zahlen bi (die i-te Bettizahl ist die Summe über die Hodgezahlen h^(p,q) mit p+q=i)? Gibt es aus der Physik oder der Geometrie eine Motivation sich diese minimalen Hodgezahlen anzusehen?

 Thilo· 01.03.11 · 18:09 Uhr

Keine Ahnung, aber es ist ja sicher naheliegend, sich die ersten h^(i,j) mit i,j>0 anzusehen (und h^(2,1) ist für Kählermannigfaltigkeiten dasselbe wie h^(1,2)).
Daß man die von Braun konstruierten Beispiele bisher nicht gekannt hatte, zeigt vermutlich, wie weit man von einer allgemeinen Klassifikation aller Calabi-Yau-3-Folds noch entfernt ist :-)

 volki· 01.03.11 · 18:54 Uhr

"und h^(2,1) ist für Kählermannigfaltigkeiten dasselbe wie h^(1,2)"

Danke! Das habe ich übersehen! Dann drauf gekommen, dass das doch nicht so ist :-) wie ich gehofft habe. Aber ich habe folgendes gefunden:

Anscheinend ist man oft an Spektralfolgen interessiert. (Für den Laien: solche Folgen verraten oft sehr viel über die Geometrie einer Fläche) Zumindest im Buch von Husemöller Elliptic Curves, Kapitel 19 § 6 werden solche Spektralfolgen kurz diskutiert unter anderm diese:

H^1(X,O_X)-->H^1(X,\Omega_X^1)-->H^1(X,\Omega_X^2)-->H^1(X,\Omega_X^3)

wobei X eine Kählermannigfaltigkeit ist und die Hodgezahlen h^(1,1) und h^(2,1) die Dimensionen der Cohomologiegruppen in der Mitte sind. Und dann ist es für einen Mathematiker (vielleicht) interessant für welche Flächen diese Spektralfolgen am Anfang minimal sind.

Also 2 Stunden damit verbracht, um herauszufinden, dass ich über das Thema leider viel zu wenig weiß und mal mehr über Homologie, Cohomologie und Kählermanigfaltigkeiten lernen sollte. Bin zwar nicht viel zum Arbeiten gekommen, habe aber trotzdem was gelernt ;-)

 mkf· 02.03.11 · 11:59 Uhr

Durch h^{1,1} und h^{2,1} ist der Hodge-Diamant vollständig beschrieben.

Man hat ja nicht nur h^{p,q}=h^{q,p} sondern auch h^{p,q}=h^{m-p,m-q}=h^{m-q,m-p} für kompakte Kähler Mfk der komplexen Dimension m(also hier m=3).

Also muss man für m=3 nur h^{0,0}, h^{1,0}, h^{1,1}, h^{2,0}, h^{2,1} und h^{3,0} kennen.

Man kann nun allgemein zeigen, dass für Calabi-Yaus (kompakte Kähler Mfk mit Hol=SU(m)) h^{p,0}=1 ist falls p=0,m und sonst 0.
Daher bleiben dann nur h^{1,1} und h^{2,1} übrig.

 hyperellipse· 28.06.11 · 21:01 Uhr

gibt es auch formeln um eine calabi-yau-mannigfaltigkeit insbesondere eine quintik in einem dreidimensionalen koordinatensystem darzustellen? ich arbeite mit k3d surf, einem grafischen visualisierungsprogramm für komplexe topologische phänomene und suche nach einer forlem dafür.

 Thilo· 29.06.11 · 09:55 Uhr

Es handelt sich ja um eine 3-dimensionale Teilmenge in einem 4-dimensionalen Raum, insofern braucht man wohl 4 Koordinaten.
Mögliche Koordinaten wären x_1=z_1/z_5,...,x_4=z_4/z_5. (Damit bekommt man allerdings nur den Teil der Quintik mit z_5 ungleich 0.) Die Gleichung in 4 Koordinaten ist dann
x_1^5+x_2^5+x_3^5+x_4^5=0.