Topologie von Flächen CXLIII

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Blätterungen, Laminierungen und singuläre Blätterungen.

Letzte Woche hatten wir die Klassifikation der Selbstabbildungen des Torus besprochen. Das Ergebnis war, daß alle Selbstabbildungen entweder periodisch oder reduzibel oder (das ist der weitaus häufigste Fall) sogenannte Anosov-Abbildungen sind. Anosov-Abbildungen sind Abbildungen, die in "einer Richtung dehnen und in einer anderen Richtung stauchen".

Zwei Blätterungen eines Rechtecks.

Mathematisch präziser gefaßt bedeutete dies, daß es eine Zerlegung des Torus in parallele Geraden (die "stabile Blätterung") und eine andere Zerlegung desselben Torus in parallele Geraden (die "instabile Blätterung") gibt, so daß die Abbildung jeweils Blätter auf Blätter abbildet und so, daß Abstände auf den Blättern der instabilen Blätterung um einen Faktor λ>1 vergrößert werden, während Abstände auf den Blättern der instabilen Blätterung um den Faktor 1/λ<1 verringert werden.
Konkret sieht das dann aus wie bei der bekannten Katzenabbildung, wo die Katze in eine Richtung gedehnt und in eine andere Richtung gestaucht wird.

Solche stabilen und instabilen Blätterungen kann es auf anderen Flächen nicht geben, aus einem einfachen topologischen Grund - auf einer Fläche mit mindestens 2 Henkeln gibt es überhaupt keine Blätterungen.
Allgemein kann es auf einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit eine Blätterung mit n-1-dimensionalen Blättern nur dann geben, wenn die Euler-Charakteristik χ=0 ist. Grund dafür ist das normale Vektorfeld, das keine Nullstellen hat, woraus mit der Poincaré-Hopf-Formel χ=0 folgt. (Falls die Blätterung nicht ko-orientierbar ist, benutzt man eine 2-blättrige Überlagerung und bekommt ebenfalls χ=0.)
In TvF 6 hatten wir mal die Euler-Charakteristik von Flächen berechnet: für eine Fläche mit g Henkeln ist χ=2-2g. Also ist χ=0 nur für g=1, d.h. für den Torus.
Übrigens hat Thurston Mitte der 70er Jahre bewiesen, daß die Bedingung χ=0 nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend für die Existenz einer Blätterung ist.

Es gibt also keine Blätterungen, es gibt aber Laminierungen, wie wir sie vor 2 Wochen besprochen hatten (sozusagen Blätterungen, bei denen aber nur ein Teil der Fläche geblättert wird). Und es gibt auch singuläre Blätterungen wie im Bild unten, bei denen einige 'singuläre' Blätter keine Geraden oder Kreise sind, sondern mehrere Strecken in einem Punkt zusammenlaufen.

Offensichtlich kann man aus einer singulären Blätterung eine Laminierung machen, indem man die singulären Blätter entfernt. Auch umgekehrt kann man eine Laminierung zu einer singulären Blätterung 'vervollständigen'. Es ist deshalb ein wenig Geschmackssache, ob man lieber mit Laminierungen oder mit singulären Blätterungen arbeitet.
(Im neuen Lehrbuch von Farb-Margalit oder im Klassiker von Fathi-Laudenbach-Poenaru wird ebenso mit singulären Blätterungen gearbeitet wie in Thurstons Original-Arbeit, sonst ist aber auch die Beschreibung der Pseudo-Anosov-Abbildungen duch Laminierungen weitverbreitet.)

Das Ziel ist jedenfalls folgendes: analog zu den Anosov-Abbildungen des Torus, wo man eine stabile und eine instabile Blätterung hatte, will man für (nicht-periodische, nicht-reduzible) Selbstabbildungen anderer Flächen eine stabile und eine instabile Laminierung (oder eine stabile und eine instabile singuläre Blätterung) finden - damit würde man die Abbildungen dann ähnlich gut verstehn wie die Katzenabildung im Bild ganz oben: man wüßte (fast) immer, in welche Richtung gedehnt und in welche Richtung gestaucht wird.
Daß dies tatsächlich so funktionert ist der Inhalt von Thurstons Klassifikation der Flächenabbildungen, dazu nächste Woche.

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