michael· 10.10.10 · 00:49 Uhr

Gibt es diese Vortäge auch als pdf ?

 Peter· 10.10.10 · 01:04 Uhr

Gute Diskussion dazu gab's bei Mathoverflow http://mathoverflow.net/questions/40920/what-if-current-foundations-of-mathematics-are-inconsistent (inkl. diverser Links).

 Sputnic· 10.10.10 · 02:32 Uhr

Wäre es dann nicht sinnvoller, die Axiome zu fixen und die Beweise in das gefixte Axiomensystem rüber zu retten? Mit einer Inkonsistenz ließe sich doch jeder Schwachfug beweisen, so dass ungefixt die Mathematik nutzlos wäre

 rolak· 10.10.10 · 08:14 Uhr

noch 2 andere interessante Vorträge

Ich nehme doch stark an, daß diese Formulierung der 'recent'-Liste in der sidebar zuzurechnen ist und in keiner Weise darauf hindeuten soll, daß der Rest der ⇒Geburtstagsreden uninteressant sei ;-)

Hi Sputnic, so ein Axiomensystem für die Arithmetik klebt gödelig am status quo.

 MartinB· 10.10.10 · 10:47 Uhr

Und was wäre, wenn dieser Post aus der Zukunft käme?
Auf meinem Kalender ist der 12.10. noch ein bisschen hin...

 rolak· 10.10.10 · 10:57 Uhr

Ers ist im Urlaub, Zeitzonen und so. Außerdem: Wie pingelig - die Datumsangabe stimmt bei jedem Post nur einen Tag lang :-)

 Ulrich Berger· 10.10.10 · 11:40 Uhr

Für mich klingt das alles wie ein Aprilscherz, aber vielleicht verstehe ich irgendetwas nicht:

1. Gödel hat nicht bewiesen, dass man die Konsistenz der Arithmetik nicht beweisen kann, sondern dass man dies nicht im Rahmen der Arithmetik beweisen kann.

2. Dass die Arithmetik konsistent ist, hat Gentzen 1935 mittels transfiniter Induktion bewiesen: http://www.springerlink.com/content/wp114u6u6pg22200/

3. Man solle Theorien bauen, die zwar nicht widerspruchsfrei sind, deren Ergebnisse aber den intuitiven Erwartungen möglichst nahekommen. Dieser Satz ergibt für mich keinen Sinn. Bekanntlich lässt sich aus einem Widerspruch beliebiges folgern. In einer inkonsistenten Theorie kann ich also zu jedem Theorem auch seine Verneinung beweisen. Wie sollten diese "Ergebnisse" dann den intutitiven Erwartungen "nahekommen"??

 Georg Hoffmann· 10.10.10 · 12:08 Uhr

Kann mir einer Erklaeren, was der Unterschied zwischen Inkonsistent und Nicht-vollstaendig ist? Oder was waere ueberhaupt eine inkonsistente Theorie?

 stoky· 10.10.10 · 12:21 Uhr

@Ulrich Berger:

zu 1. ich glaub das haben einfach alle weggelassen aus Gründen der Einfachheit
zu 2. in Minute 27:00 steht auf der Folie:
"While Gentzen's reduction argument leads to many very interesting developments it can not be used as a proof of consistency. In relation to the consistency issue the only thing which it shows is that any inconsistency will define a non-terminating decreasing sequence of "ordinal less that \varespilon_0"

Bei 28:30 quält er sich, weil er das Argument, dass sowas ja nicht sein kann irgendwie nicht akzeptiert. Er sagt selber dass er da nich genau drauf eingehen kann, aber er behauptet wohl, dass der Beweis zwar richtig ist, aber nicht die Konsistenz beweist.

zu 3. das hab ich in dem Vortrag auch nich wiedergefunden....

 Ulrich Berger· 10.10.10 · 12:23 Uhr

@ Georg:

Unvollständig heißt, dass es Aussagen A gibt, die im System weder beweisbar noch widerlegbar sind, also weder A noch not-A sind Theoreme. Das ist nicht so tragisch. Inkonsistent heißt, dass es Aussagen A gibt, sodass sowohl A als auch not-A beweisbar sind. Das ist tragisch, weil http://de.wikipedia.org/wiki/Ex_falso_quodlibet

 Georg Hoffmann· 10.10.10 · 12:26 Uhr

@Ulrich
Danke!

 stoky· 10.10.10 · 12:26 Uhr

@Ulrich Berger:

zu 1. ich glaub das haben einfach alle weggelassen aus Gründen der Einfachheit

zu 2. in Minute 27:00 steht auf der Folie:
"While Gentzen's reduction argument leads to many very interesting developments it can not be used as a proof of consistency. In relation to the consistency issue the only thing which it shows is that any inconsistency will define a non-terminating decreasing sequence of "ordinal less that \varespilon_0"

Bei 28:30 quält er sich, weil er das Argument, dass sowas ja nicht sein kann irgendwie nicht akzeptiert. Er sagt selber dass er da nich genau drauf eingehen kann, aber er behauptet wohl, dass der Beweis etwas für offensichtlich deklariert, was er für nicht offensichtlich hält.

zu 3. das hab ich in dem Vortrag auch nich wiedergefunden....

 stoky· 10.10.10 · 12:35 Uhr

Sorry für Doppelpost hab mich da verklickt.
Der erste Post ist falsch, hatte da noch nicht weit genug gehört. Der erste Post und dieser hier dürfen gerne gelöscht werden ;)
Editieren tut ja leider nicht...

 Thilo· 10.10.10 · 22:43 Uhr

@ michael: Ich glaube nicht, auf seiner Webseite http://www.math.ias.edu/~vladimir/Site3/home.html habe ich jedenfalls nichts gefunden

@ Peter: Sehr interessante Links

@ rolak: Stimmt, auf http://video.ias.edu/80th gibt es noch mehr interessante Festvortraege. Wann soll man sich das alles ansehen?

@ MartinB: ist korrigiert.

 Thilo· 11.10.10 · 00:12 Uhr

@ stoky
zu 3.: Das sagt er bei 43:20:
"ultimately, if we learn to do such a thing, it will be very liberating because then one can use reasoning systems which are known to be inconsistent but which are closer to our intuitive thinking"

 Dr. Webbaer· 17.10.10 · 18:06 Uhr

Inkonsistenz ist in komplexen Gebäuden zu erwarten. Natürlich nicht wünschenswert, aber die Axiomatik kann es schon mal leisten im negativen Sinne.

Gödel hat der Wb nie verstanden, er zitiert hier einmal die Wikipedia: "Dieser besagt, dass in einem widerspruchsfreien Axiomensystem, das genügend reichhaltig ist, um die Arithmetik (natürliche Zahlen) in der üblichen Weise aufzubauen und das überdies hinreichend einfach ist, es immer Aussagen gibt, die aus diesem weder bewiesen noch widerlegt werden können." - wobei es dann das "genügend" bringen sollte.

Philophische Systeme, wie die Arithmetik, müssen nicht inkonsistent sein.

MFG
Wb

 H.M.Voynich· 29.10.10 · 01:09 Uhr

Der Webbär meint vermutlich Inkontinenz?

 michael· 29.09.11 · 05:38 Uhr

Vielleicht ist Mathematik doch inkonsistent.

http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2011-September/015816.html

 Thilo· 29.09.11 · 10:22 Uhr

Terence Tao kritisiert den Beweis: http://golem.ph.utexas.edu/category/2011/09/the_inconsistency_of_arithmeti.html#c039531

Der Autor (Edward Nelson) widerspricht: http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2011-September/015826.html

Ich hab' vom Thema zuwenig Ahnung, um etwas dazu zu sagen.

 Thilo· 01.10.11 · 18:16 Uhr

Edward Nelson hat seine Behauptung der Inkonsistenz der Peano-Arithmetik jetzt zurückgezogen: http://m-phi.blogspot.com/2011/10/nelson-withdraws-his-claim.html