« vorheriger Beitrag  · nächster Beitrag »

14.05.10 · 14:48 Uhr

Topologie von Flächen CXVI

Kategorie: Naturwissenschaften  ·  Kommentare: 2

Knoten im Lorenz-Attraktor.

Ein Attraktor einer Differentialgleichung (d.h. eines Flußes auf einem Phasenraum) ist eine Teilmenge des Phasenraums mit der Eigenschaft, daß Punkte aus einer Umgebung des Attraktors sich (im Verlaufe des Flußes) dem Attraktor annähern. Ein besonders einfaches Beispiel zeigt das Bild rechts: der Attraktor besteht aus nur einem Punkt (dem stabilen Gleichgewichtspunkt), jeder Punkt aus einer Umgebung wird im Laufe der Zeit gegen den stabilen Gleichgewichtspunkt konvergieren.

stabiles Gleichgewicht

Chaotische Differentialgleichungen zeichnen sich dadurch aus, daß ihre Attraktoren komplizierte Fraktale sind. Zum Beispiel zeigt das Bild rechts den Attraktor der Lorenz-Gleichungen x'=-10x+10y y'=28x-y-xz z'=-8z/3+xy Diese Gleichungen sind ein Modell für themische Konvektion. (Allerdings ein sehr vereinfachtes, dessen Lösungen für den wirklichen Konvektionsprozeß keine Relevanz mehr haben.)

Es gibt im Lorenz-Attraktor viele periodische Orbits, die z.T. auf komplizierte Weise verknotet sind:

(Man erkennt die Sensitivität bzgl. der Anfangsbedingungen: durch eine kleine Störung landet man auf einem völlig anderen Knoten.)

Welche topologischen Typen von Knoten kommen im Lorenz-Attraktor vor? Diese Frage untersuchten Joan Birman und Robert Williams in der 1983 in Topology veröffentlichten Arbeit Knotted periodic orbits in dynamical systems I :Lorenz's equation. (Einen aktuellen Vortrag von Joan Birman findet man hier.)
Zum Beispiel kommen unverknotete Orbits vor, oder auch Kleeblattschlingen oder Torusknoten oder kompliziertere Beispiele wie z.B. der (-3,-7,2)-Brezelknoten:

Es kommen aber bei weitem nicht alle Typen von Knoten vor, z.B. sind Knoten im Lorenz-Attraktor immer unzerlegbar und ihr Komplement läßt sich durch Flächen fasern. 'Statistisch gesehen' sind die Lorenz-Knoten (d.h. die Knoten-Typen der im Lorenz-Attraktor vorkommenden periodischen Orbits) nur ein kleiner Teil aller Knoten. Z.B. gibt es 1701936 Knoten, die eine ebene Projektion mit höchstens 16 Überkreuzungen haben, und von diesen sind nur 20 Lorenz-Knoten.
Knoten mit wenigen Überkreuzungen sind in gewisser Weise 'untypisch', z.B. sind sie selten hyperbolisch, während man seit Thurston weiß, daß die 'meisten' komplizierten Knoten hyperbolisch sind. Interesanterweise haben nun Birman und Kofman in einer 2009 im 'Journal of Topology' veröffentlichten Arbeit gezeigt, daß mehr als die Hälfte der hyperbolischen Knoten von kleinem Volumen Lorenz-Knoten sind. (Genauer: unter den 201 Knoten kleinsten Volumens sind 107 Lorenz-Knoten.) Im verlinkten Vortrag wird auf S.26-32 erklärt, warum so viele hyperbolische Knoten Lorenz-Knoten sind.

Um hier wieder auf das eigentliche Thema (Geometrisierung von Flächen, speziell hyperbolische Geometrie) zurückzukommen: die Lorenzknoten kommen auch vor als periodische Flußlinien des gedätischen Flusses auf der Modulfläche, dazu nächste Woche.

Quellen:
Lorenz: Deterministic nonperiodic flow
Birman-Williams: Knotted periodic orbits in dynamical systems
Birman, Kofman: A new twist on Lorenz links

Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115

 

Autor: Thilo· 2 Kommentare· Permalink· Trackback-URL

Tags: Attraktor· Birman· Knoten· Lorenz· Topologie