Topologie von Flächen CXIV

Kategorie: Naturwissenschaften

Modulare Knoten

Vor 3 Wochen hatten wir über die Kleeblatt-Schlinge geschrieben:

Letzte Woche ging es wegen des Steenrod-Geburtstags um Faserbündel.
Ein Beispiel eines Faserbündels war das Komplement der Kleeblattschlinge: wie unten abgebildet läßt es sich in Kreise zerlegen und ist dann ein Faserbündel, dessen Fasern Kreise sind und dessen Basis die Modulfläche (TvF 91) ist.

Copyright 2010 Jos Leys

Andererseits kommt die Kleeblattschlinge auch im Lorenz-Attraktor vor (dazu und zum Lorenz-Attraktor nächste Woche mehr).

Das Bild unten rechts (von Jos Leys, Quelle: http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-lorenz) zeigt eine Kleeblattschlinge, die als periodischer Orbit im Lorenz-Attraktor vorkommt.

Geodätischer Fluß auf der Modulfläche

Wie vorletzte Woche beschrieben, ist das Komplement der Kleeblattschlinge gerade das Einheits-Tangentialbündel der Modulfläche (d.h. die Fasern des ganz oben abgebildeten Kreis-Bündels sind die Geschwindigkeitsvektoren der Länge 1 auf der Fläche).

Auf dem Einheits-Tangentialbündel einer Fläche hat man den geodätischen Fluß (TvF 74): man nimmt die Geschwindigkeitsvektoren auf der Fläche, und diese fließen in die jeweils von ihnen selbst angegebene Richtung:

Der geodätische Fluß auf (dem Einheitstangentialbündel der) hyperbolischen Ebene oben rechts hat natürlich keine periodischen Flußlinien: alles fließt in eine Richtung.
Anders ist das auf (dem Einheitstangentialbündel der) geschlossenen Flächen (in TvF 79 hatten wir mal periodische Geodäten auf der Brezelfläche - die entsprechenden Flußlinien des geodätischen Flusses sind ebenfalls periodisch) oder eben auf der Modulfläche: dort gibt es periodische Flußlinien.

Wenn man, wie gehabt, sich das Einheits-Tangentialbündel der Modulfläche als Komplement der Kleeblattschlinge denkt, dann sind die periodischen Flußlinien Knoten (im Komplement der Kleeblattschlinge).
Man bezeichnet diese periodischen Flußlinien als modulare Knoten.

Ghys hat bewiesen, daß man alle modulare Knoten (und nur diese) als periodische Flußlinien im Lorenz-Attraktor finden kann. Ein ziemlich überraschender Zusammenhang, denn der Lorenz-Attraktor hat ja eigentlich mit dem geodätischen Fluß der Modulfläche nichts zu tun.

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