Eine lebensnahere Variante von Zenon’s Paradoxon.

Der Artikel zur Mathematischen Hausnummer war neulich lebhaft diskutiert worden.

Letztlich ging es um das “Basel-Problem”, die Berechnung von Σn=1 1/n2.

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©2009 *TheLastDanishPastry: We moved into a new house

Sautoy erklärt die Lösung des Basel-Problems nun (in der BBC) anhand von Wodkagläsern.

Unendlich viele Wodkagläser, aber nur endlich viel Inhalt
(1.6… – “that’s still quite a lot of vodka” kommentiert Sautoy).
Denselben Effekt kennt man seit der Antike als Xenon’s Paradoxon (Achilles und die Schildkröte) – eine endliche Strecke läßt sich in unendlich viele (immer kleinere) Teilstrecken zerlegen.

Genauer gesagt, handelt es sich hier um abzählbar unendlich viele Gläser, aus denen endlich viel Wodka getrunken wird.

Ist es auch möglich, endlich viel Wodka aus überabzählbar unendlich vielen Gläsern zu trinken? Erstaunlicherweise wird diese Frage in Uni-Vorlesungen nie behandelt. (Ich bin neulich zufällig auf diese Frage gestoßen in Zusammenhang mit einem ganz anderen Thema, nämlich einer Arbeit über Flächen im hyperbolischen Raum. In einem technischen Beweis wurde benutzt, daß eine Strecke eine Region zwischen zwei Flächen nur abzählbar oft schneiden kann, weil die Summe der Längen der Schnittintervalle endlich ist.)
Wie gesagt, in Analysis I wird diese Frage nicht behandelt, aber die Antwort ist dann doch sehr einfach: es ist nicht möglich, endlich viel Wodka aus überabzählbar vielen Gläsern zu trinken, d.h. es ist nicht möglich, eine endliche Summe in überabzählbar viele positive Summanden zu zerlegen. Der Beweis: Wenn die Summe endlich ist, dann gibt es zunächst für jede positive Zahl r nur endlich viele Summanden größer r. Die Menge der positiven Summanden ist aber die Vereinigung (über alle natürlichen Zahlen n) der Summanden größer 1/n, also eine abzählbare Vereinigung endlicher Mengen, also abzählbar.

Es gibt also keine überabzählbare Version der Geschichte von Achilles und der Schildkröte..

PS: Die Stupidedia erklärt ‘Unendlich’ übrigens so:

Unendlich, auch ∞ genannt, ist eine verdammt große Zahl. Entstanden ist Unendlich, als irgendein besoffener Mathematiker versucht hat, x durch 0 zu teilen.

Wissenschaftler (Verwandte der Wissenschafter) behaupten, es gäbe unendlich viele Sterne im Universum. Andere behaupten, unendlich viele Sterne zu sehen, wenn sie Alkohol konsumieren.

Einige Theologen, die auch Mathematik studiert haben, haben bewiesen, dass zwei oder mehr Parallelen im Punkt Unendlich aus Holz sind und eine Schleife bilden.

Bedenkt man, dass erfahrene Mathematiker entgegen aller Logik behaupten, dass Unendlich + 1 = Unendlich ist, wird erkennbar wie unendlich langweilig das Leben eines Mathematikers sein muss (und wie unendlich unlogisch die Welt ist (oder zumindest wie endlich die Mathematik).

Kommentare (13)

  1. #1 Marcus Anhäuser
    31. Januar 2010

    jetzt habe ich ‘Endlich viel Wodka …’ doch erst mal falsch verstanden, im Sinne von ‘Na endlich, viel Wodka …’ 😉

  2. #2 Marcus Anhäuser
    31. Januar 2010

    jetzt habe ich ‘Endlich viel Wodka …’ doch erst mal falsch verstanden, im Sinne von ‘Na endlich, viel Wodka …’ 😉

  3. #3 Wiesel
    31. Januar 2010

    “Wenn die Summe endlich ist, dann gibt es zunächst für jede positive Zahl r nur endlich viele Summanden größer r.”

    Warum gilt das? Wenn s die Summe bezeichnet, dann wurde dadurch das Problem doch darauf zurückgeführt, dass s – r, für r kleiner s, nicht durch überabzählbar viele Summanden darstellbar ist und nicht dass es jetzt einfach endlich viele sind.

  4. #4 Thilo Kuessner
    31. Januar 2010

    Wenn die Summe endlich ist, dann gibt es zunächst für jede positive Zahl r nur endlich viele Summanden größer r.
    Warum gilt das?

    Wenn die Summe endlich wäre, also gleich einer endlichen Zahl N, dann könnte es höchstens N/r Summanden geben, die größer sind als r.

  5. #5 Marcus Anhäuser
    31. Januar 2010

    jetzt habe ich ‘Endlich viel Wodka …’ doch erst mal falsch verstanden, im Sinne von ‘Na endlich, viel Wodka …’ 😉

  6. #6 Stefan W.
    31. Januar 2010

    Bei sehr, sehr vielen Vodkagläsern komme ich irgendwann an eines, welches nur noch ein Vodkamolekül enthält. Was mache ich danach?

    Ich schätze auch, dies wird geschehen, bevor mir das Glas ausgeht, aber auch Glas ist endlich.

    Das Experiment läßt sich also nicht durchführen. 😉

  7. #7 Wiesel
    31. Januar 2010

    Dankeschön! Jetzt hab ichs geblickt.

  8. #8 rolak
    31. Januar 2010

    Das Experiment läßt sich also nicht durchführen. ;

    Aber man kann sich im Rahmen der Meßgenauigkeit dem Ergebnis annähern. Da allerdings zu ordentlichem Arbeiten möglichst viele Meßreihen durchgeführt und deren Ergebnisse gemittelt werden müssen, tuen sich hier einige Probleme auf: Wodka ist alle, Korn auch, mit Eierlikör ist mittlerweile ebenfalls nicht mehr viel möglich, ich muß die Kommentare schon fremdtippen lassen 😉

    Erstaunlicher Nebeneffekt sind endlich geklärte parawissenschaftliche Phänomene: Schon nach der ersten Hälfte der Kornflasche waren eindeutig Kornkreise wahrnehmbar. Sogar in farbig.

  9. #9 marcus
    12. Mai 2011

    sehr amüsanter beitrag!

    um die frage beantworten zu können, muss man erst mal eine flasche wodka trinken, um kreativ zu werden. ich empfehle Wodka Wanessa, der ist so fein und hochqualitativ, das man problemlos eine flasche schafft.

  10. #10 Thilo
    13. Mai 2011

    Ach ja, Wodkawerbung hatten wir hier noch nicht.

  11. #11 Roland
    13. Mai 2011

    Mir fällt da nur die uralte russische Mathematikfrage ein (Vorsicht, eventuell nicht politisch korrekt):
    Drei Russen sitzen in einer Datscha und trinken eine Kiste Wodka.
    Zwei gehen raus.
    Der Rest muß raten, wer noch in der Datscha ist.

    Ist es auch möglich, endlich viel Wodka aus überabzählbar unendlich vielen Gläsern zu trinken?

    Da sollte sich doch eine Möglichkeit finden lassen, das experimentell zu überprüfen (wenn auch vermutlich nicht im Doppelblindversuch).
    Falls irgendwann mal die Frage auftauchen sollte, ob das auch für guten alten Armagnac gilt, würde ich mich auch mal als Testkandidat zur Verfügung stellen.

  12. #12 Roland
    13. Mai 2011

    Das Video ist ja aktuell nicht verfügbar – gibt es eventuell einen Link dazu (bevor Tausende von Leser/innen rumsuchen und ebensoviele Kilowatt bei den Googleservern verbrauchen)?

  13. #13 Roland
    13. Mai 2011

    Das Video ist ja aktuell nicht verfügbar – gibt es eventuell einen Link dazu (bevor Tausende von Leser/innen rumsuchen und ebensoviele Kilowatt bei den Googleservern verbrauchen)?