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15.01.10 · 17:20 Uhr

Topologie von Flächen IC

Kategorie: Naturwissenschaften  ·  Kommentare: 1

Funktionen und Symmetrien.

Flächen lassen sich geometrisieren, in regelmäßige Form bringen.

Flächen mit mindestens zwei Henkeln erhält man durch bestimmte Symmetrien der hyperbolischen Ebene (TvF 66):

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Quelle: Mathworld

Ähnlich erhält man einen flachen Torus durch zwei Translationssymmetrien der Ebene (TvF 63).

Viele innermathematische Anwendungen von hyperbolischen oder flachen Metriken hatten wir hier schon (cf. TvF 89).
Eine weitere naheliegende Anwendung (oder eher eine Hilfe zur Veranschaulichung mathematischer Funktionen) ist, daß man Funktionen mit bestimmten Symmetrieeigenschaften mittels geometrischer Flächen veranschaulichen kann.
Z.B. sind doppelt-periodische Funktionen gerade Funktionen auf einem flachen Torus oder Modulfunktionen sind gerade Funktionen auf der "Modulkurve", d.i. der in TvF 91 besprochenen hyperbolischen Fläche.

Doppelt-periodische Funktionen

Doppelt-periodische Funktionen sind Funktionen in zwei Variablen, die zwei unabhängige Perioden u und v haben, z.B. hat sin(x)sin(y) die Perioden u=(2π,0) und v=(0,2π). Wenn L das von den beiden Perioden u,v erzeugte Gitter ist, dann ist die doppelt periodische Funktion gerade eine Funktion auf dem Torus R²/L=C/L. Man kann doppelt-periodische Funktionen also veranschaulichen als Funktionen auf dem Torus. (Wegen des Zusammenhangs mit elliptischen Kurven werden doppelt-periodische Funktionen auch als elliptische Funktionen bezeichnet.)

Wenn man sich nur für komplex-differenzierbare doppelt-periodische Funktionen interessiert (das schließt z.B. sin(x)sin(y) aus, was zwar reell differenzierbar, aber nicht komplex differenzierbar ist), hat man eine einfache Beschreibung aller komplex-differenzierbaren doppelt-periodischen Funktionen:

zu zwei gegebenen Perioden u,v: sei p(z) die Weierstraß'sche p-Funktion des von den beiden Perioden u,v erzeugten Gitters L.
Dann ist jede komplex-differenzierbare doppelt-periodische Funktion (mit den beiden gegebenen Perioden u,v) eine rationale Funktion von p(z) und p'(z) .
(D.h. entsteht aus p(z) und p'(z) durch Anwendung der 4 Grundrechenarten.)

Modulfunktionen

Eine ähnliche Klassifikation hat man auch für Modulfunktionen, also Funktionen f auf der hyperbolischen Ebene, die die Gleichung f(Az)=f(z) für alle Matrizen A aus SL(2,Z) erfüllen. Ein Beispiel dafür war ja die j-Funktion (gelegentlich auch bezeichnet als Klein'sche Modulfunktion), die bei der Klassifikation elliptischer Kurven eine Rolle spielte und deren SL(2,Z)-Invarianz man am unten abgebildeten Graphen gut erkennt: © Jan Homann

Modulfunktionen kann man veranschaulichen als Funktionen auf der der in TvF 91 besprochenen hyperbolischen Fläche H²/SL(2,Z).

Eine Klassifikation aller (komplex-differenzierbaren) Modulfunktionen liefert der Satz: Jede komplex-differenzierbare Modulfunktion ist eine rationale Funktion der j-Funktion.

Modulfunktionen werden oft in der Zahlentheorie verwendet und spielten z.B. eine Rolle bei Wiles' Beweis der Fermat-Vermutung.
Die, ähem, 'wissenschafts-skeptische' Conservapedia schreibt dazu:

In a series of lectures in 1993, mathematician Andrew Wiles announced a proof using techniques in algebraic geometry, relying on the nonconstructive Axiom of Choice.[5] A flaw was found before publication, and Wiles spent a year on fixing the flaw. Then, in September 1994, he and Richard Taylor announced a new version of the proof. However, criticism does continue on the internet.[5] Further criticism came from Marilyn vos Savant, known for her very high IQ and commentary on mathematics, in her column and book.[6][7] She questioned the use of Non-Euclidean geometry and the Axiom of Choice, among other points. She retracted her argument in a 1995 addendum to the book.

Zumindest was die Verwendung hyperbolischer Geometrie angeht hat man dort wohl etwas falsch verstanden. Die Richtigkeit der Fermat-Vermutung hängt nicht davon ab, welche Struktur der Raum hat. Hyperbolische Geometrie ist im Beweis nur ein (im Prinzip verzichtbares) Hilfsmittel zur Veranschaulichung modularer Funktionen.

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Autor: Thilo· 1 Kommentar· Permalink· Trackback-URL

Tags: elliptisch· Fläche· Modulfunktion· Modulkurve· periodisch· Symmetrie· Weierstrass· Zahlentheorie