Topologie von Flächen XCIII

Kategorie: Naturwissenschaften

Elliptische Kurven und Flache Tori.

Elliptische Kurven über endlichen Körpern spielen eine zunehmend wichtige Rolle in der Verschlüsselung. Dagegen sind elliptische Kurven über den reellen oder komlexen Zahlen für kryptographische Zwecke ungeeignet, wie wir letzte Woche schon erwähnt, aber nicht begründet hatten.
Der Grund ist, daß eine elliptische Kurve über den komplexen Zahlen sich auch als flacher Torus beschreiben läßt, was die Entschlüsselung sehr vereinfacht.

Um den Zusammenhang zwischen Tori und elliptischen Kurven herzustellen, brauchen wir zunächst den Begriff "Gitter"

Ein Gitter (in der komplexen Zahlenebene) wird von zwei Vektoren erzeugt und besteht aus allen Summen von (ganzzahligen) Vielfachen dieser beiden Vektoren.
Das Gitter oben ist erzeugt von 1 und i.
Das Gitter unten von 1 und 0.5+0.86...i (der Winkel ist 60^o).

G01a p1.gif
© M.Holzapfel

Wenn man ein Gitter L (in der komplexen Zahlenebene) hat, dann definiert man die Weierstrass'sche p-Funktion durch

p(z)=1 / z² + Σ_{wε L-0} 1 / (z-w)² - 1 / w².

Es gibt viele Gründe, warum man sich für diese Funktion interessiert, einer ist die Beziehung zwischen Gittern und elliptischen Kurven. Die p-Funktion erfüllt nämlich die Differentialgleichung

(p'(z))²=4p(z)³-g₂p(z)-g₃

wobei g₂ und g₃ Zahlen sind (die sogenannten Eisensteinreihen), die nur vom Gitter abhängen.

Die Punkte (p(z),p'(z)/2) bilden also eine elliptische Kurve!
(Elliptische Kurven waren ja Kurven mit einer Gleichung y²=x³+ax+b, siehe letzte Woche.)

Man kann zeigen, daß man jede (komplexe) elliptische Kurve auf diese Weise bekommt.

Was heißt das nun für die elliptische Kurve?
Jedem Punkt der komplexen Zahlenebene entspricht ein Punkt auf der elliptischen Kurve.
Umgekehrt entspricht ein Punkt auf der elliptischen Kurve aber vielen Punkten in der komplexen Zahlenebene: die p-Funktion (und ihre Ableitung) sind nämlich doppelt periodisch - für jeden Gitter-Vektor lεL ist p(z+l)=p(z) und p'(z+l)=p'(z) für alle z.
("Doppelt periodisch", weil es i.W. zwei unabhängige Perioden gibt: die beiden Vektoren, die das Gitter erzeugen. Aus historischen Gründen bezeichnet man doppelt-periodische Funktionen meist als Elliptische Funktionen.)

Die Punkte der elliptischen Kurve entsprechen also nicht eindeutig den Punkten der komplexen Zahlenebene, aber sie entsprechen (fast) eindeutig den Punkten aus dem 'Fundamentalbereich' des Gitters, d.h. einem der Parallelogramme im Bild oben.
Allerdings auch hier nur 'fast' eindeutig - ein Punkt auf dem Rand des Parallelogramms und der gegenüberliegende Punkt auf der gegenüberliegenden Parallelogrammseite werden ja durch einen erzeugenden Vektor ineinander verschoben, sie geben also denselben Punkt auf der elliptischen Kurve.

Topologisch gesehen entsteht die elliptische Kurve also aus einem Parallelogramm, bei dem die gegenüberliegenden Seiten identifiziert werden. Wie das kurze Video noch einmal zeigt, erhält man also einen Torus.

(Wie wir in TvF 63 schon mal ausführlich beschrieben hatten, hat ein solcher, von der
komplexen Ebene 'überlagerter', Torus eine Metrik mit Krümmung 0, ist also flach. Elliptische Kurven lassen sich also beschreiben durch flache Tori. Das ist natürlich nicht so überraschend, wenn man weiß, daß alle Flächen Metriken konstanter Krümmung haben, cf. TvF 66 ff.)

Warum das komplexe (und auch reelle) elliptische Kurven für die Kryptographie unbrauchbar macht, hängt mit der Additionsregel auf elliptischen Kurven zusammen, dazu nächste Woche.

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