« vorheriger Beitrag  · nächster Beitrag »

20.11.09 · 17:07 Uhr

Topologie von Flächen XCII

Kategorie: Naturwissenschaften  ·  Kommentare: 2

Modulraum elliptischer Kurven

Elliptische Kurven spielen eine wichtige Rolle in der Kryptographie und sollen in den nächsten 10 Jahren zur Standard-Verschlüsselungsmethode im Internet, Online-Handel etc. werden (siehe Kryptographie XII).

Allerdings verwendet man in der Kryptographie nur elliptische Kurven über endlichen Körpern und keine reellen oder komplexen elliptischen Kurven. Dafür gibt es verschiedene Gründe - einer ist, daß Verschlüsselung mit komplexen (oder reellen) elliptischen Kurven nicht sicher ist, weil jede komplexe elliptische Kurve einfach ein flacher Torus ist und weil sich der "Modulraum" komplexer elliptischer Kurven leicht beschreiben läßt - nämlich durch die letzte Woche beschriebene Modulfläche.

Elliptische Kurven sind Kurven y²=x³+ax+b.
(a und b sind irgendwelche Zahlen. Damit die Kurve keine Singularitäten hat, soll 4a³+27b² nicht Null sein.)

In der reellen (x,y)-Ebene sehen elliptische Kurven aus wie im Bild unten.

Reelle elliptische Kurven sind einfach Kurven in der Ebene, also 1-dimensional.
Komplexe elliptische Kurven sind komplex 1-dimensional, also reell 2-dimensional.

Komplexe elliptische Kurven sind also Flächen.
Sie sind sogar sehr spezielle Flächen: jede (komplexe) elliptische Kurve ist (wenn man den Punkt im Unendlichen dazu nimmt) ein flacher Torus (mit Flächeninhalt 1).

.

"Flacher Torus" soll in diesem Zusammenhang heißen, daß der Torus eine Metrik mit Krümmung 0 hat, d.h. von der flachen Ebene überlagert wird, siehe TvF 63. (Warum das so ist, also warum jede komplexe elliptische Kurve einem flachen Torus mit Flächennhalt 1 entspricht, werden wir nächste Woche kurz andeuten, mit Hilfe der Weierstrass'schen p-Funktion.)

Wir werden den Zusammenhang zwischen Tori, Gittern und elliptischen Kurven nächste Woche noch etwas vertiefen, insbesondere auch erklären, warum Verschlüsselung mit solchen flachen Tori leicht zu knacken ist.

Vorweg schon einmal: man kann m.H. dieses Zusammenhangs leicht die Menge aller komplexen elliptischen Kurven (den sogenannten Modulraum der komplexen elliptischen Kurven) beschreiben:
nämlich - der "Modulraum" der komplexen elliptischen Kurven ist dasselbe wie der "Modulraum" der flachen Tori mit Flächeninhalt 1,
und den "Modulraum" der flachen Tori kann man leicht bestimmen (dazu übernächste Wochein TvF 95), es ist genau die letzte Woche beschriebene Modulfläche.

Klassifiziert werden elliptische Kurven übrigens durch die
j-Invariante. Deren 'Graph' sieht aus wie im Bild unten und hat dieselben Symmetrien wie der 'modulare Schrank' aus TvF 90. Auch das ist natürlich kein Zufall - mehr dazu später.

© Jan Homann

Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 88, Teil 90, Teil 91

 

Autor: Thilo· 2 Kommentare· Permalink· Trackback-URL

Tags: elliptische Kurve· Modulfläche· Modulgruppe· Modulraum