Jörg· 25.10.09 · 22:01 Uhr

Yeah, Beutelspacher. Der einzige Professor, der sein Buch damit beginnt zu sagen: "Wenn Sie es nicht verstehen, ist es meine Schuld". Ich hab es verstanden.

 H.M.Voynich· 27.10.09 · 02:05 Uhr

Bei der Eulerschen Polyederformel fiel mir einmal auf, daß man sie scheinbar auf beliebig viele Dimensionen erweitern kann, nach dem Schema:

Ecken - Kanten + Flächen - Körper + 4D-Körper - 5D-Körper ... = 1

Also alle "Entitäten" mit ungerader Dimension gehen negativ und alle mit gerader Dimension positiv in die Zählung ein, so daß man immer 1 erhält, egal wieviele Dimensionen beteiligt sind.
Wurde das schon bewiesen (oder widerlegt)? Ich konnte dazu bisher noch nichts finden.

 Thilo Kuessner· 27.10.09 · 02:25 Uhr

Ja, es kommt immer 1 raus, wenn man das "Innere" des Körpers mitzählt (und wenn es keine "Löcher" im Körper gibt) - d.h. zum Beispiel bei einem Würfel (wenn man das das Innere des Würfels als einen 3-dimensionalen Körper zählt): 8 Ecken, 12 Kanten, 6 Flächen, 1 Körper: 8-12+6-1=1.

Wenn man die "richtigen Begriffe" gelernt hat (d.h. die Methoden der Algebraischen Topologie), läßt sich das relativ schnell beweisen:
ein Körper ohne Löcher ist "homöomorph" zu einer n-dimensionalen Kugel,
deren 1-,2-,3-,...,n-dimensionale "Bettizahlen" sind alle 0, nur die 0-dimensionale "Bettizahl" ist 1.
Und nach einem Satz von Hopf, der sich mit "Linearer Algebra" leicht beweisen läßt, ist die Summe
Ecken - Kanten + Flächen - Körper + 4D-Körper - 5D-Körper ...
genau so groß wie die Summe
0. Bettizahl - 1. Bettizahl + 2.Bettizahl - 3.Bettizahl + 4.Bettizahl- 5.Bettizahl...
also 1-0+0-0+0-0... = 1

Sorry für diese vielen Fachbegriffe, aber ...
für 2- oder 3-dimensionale Körper kann man die Formel auch direkt beweisen, in höheren Dimensionen wird das aber recht unübersichtlich und man verläßt sich lieber auf eine allgemeine Theorie, aus der sich solche Formeln dann überraschend einfach ergeben (vorausgesetzt, man kennt erst mal die Theorie).

 H.M.Voynich· 27.10.09 · 03:48 Uhr

Danke. Dann wäre es also doch "ordentlicher", die Polyederformel als E-K+F zu schreiben (anstatt E+F-K, wie man es sonst immer liest). ;)

 Thilo· 28.11.10 · 13:59 Uhr

Nachtrag: Die Videos sind auf YouTube inzwischen gelöscht worden. Man kann sie aber noch auf der Seite des BR ansehen: http://www.br-online.de/br-alpha/mathematik-zum-anfassen/mathematik-zum-anfassen-albrecht-beutelspacher-mathematik-ID1207039260448.xml