Topologie von Flächen LXXV

Kategorie: Naturwissenschaften

Die "Matrix"-Fortsetzung ist kein cineastisches oder gar erkenntnistheoretisches Ereignis, sondern schlichte ökonomische Notwendigkeit. (FAZ)

Auch in der Chaostheorie ist es weniger aus erkenntnistheoretischen als aus ökonomischen Gründen sehr bequem, wenn man Matrizen benutzen kann.

Letzte Woche hatte ich darüber geschrieben, daß der geodätische Fluß auf hyperbolischen Flächen ein besonders regelmäßiges Beispiel für hyperbolische Dynamik, also für Chaos in seiner reinsten Form, ist und daß er auch deshalb als Modell besonders geeignet ist, weil er sich mit einfachen Matrizen-Multiplikationen beschreiben läßt. Diesen Punkt (die Beschreibung mit Matrizen) will ich noch ausführlicher ausführen.

Wir nehmen diesmal, weil das für die Rechnungen günstiger ist, das Halbebenen-Modell der hyperbolischen Ebene (TvF 55), d.h. die komplexen Zahlen mit positivem Imaginärteil.

Die Dynamik auf der hyperbolischen Ebene ist besonders leicht berechenbar - alles was man braucht, ist die Multiplikation von 2x2-Matrizen.

Also, man hat die Gruppe SL(2,R) der 2x2-Matrizen mit Determinante 1:

und jede solche Matrix kann man nach der folgenden Regel mit Punkten der komplexen Zahlenebene 'multiplizieren':

(Multiplikation ist eigentlich nicht der richtige Ausdruck, in der Mathematik spricht man hier von der Wirkung einer Gruppe auf einem Raum. Die Matrix A bildet den Punkt z auf einen Punkt 'Az' ab.)

Die Gruppe SL(2,R) hat einige interessante Untergruppen:

Zunächst die Gruppe SO(2) der Dreh-Matrizen

Dann die Gruppe der Diagonalmatrizen

und die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen

(Diese 3 Gruppen von Matrizen entsprechen übrigens gerade den elliptischen, hyperbolischen und parabolischen Isometrien der hyperboischen Ebene aus TvF 57.)

Die Matrix A aus SL(2,R) bildet einen Punkt z der oberen Halbebene auf einen anderen Punkt Az ab, und damit dann auch Einheitsvektoren am Punkt z auf Einheitsvektoren am Punkt Az. Das Bild zeigt, die Wirkung der verschiedenen Matrizen auf den (0,1)-Vektor im Punkt i (im Bild unten weiß gezeichnet):

Die 'elliptischen' Matrizen aus SO(2) bilden den weißen Vektor auf die (gelb gezeichneten) Vektoren im selben Punkt i (mit verschiedenen Richtungen) ab.
Die 'hyperbolischen' Matrizen φ^t bilden den weißen Vektor auf die (rot gezeichneten) Vektoren in Richtung der y-Achse an Punkten 0+ti der y-Achse ab.
Und die 'parabolischen' Matrizen h₊^s bilden den weißen Vektor auf die 'parallelen' blau gezeichneten Vektoren an Punkten s+1i ab.

Man kann sich nun leicht überlegen, daß man jeden Einheitsvektor an irgendeinem Punkt x+yi der hyperbolischen Ebene auf diese Weise aus dem (0,1)-Vektor im Punkt i bekommen kann:
- zunächst dreht man den Vektor mit einer Matrix aus SO(2) in die richtige Richtung
- dann schickt man ihn mit der hyperbolischen Isometrie φ^y auf einen Vektor im Punkt yi
- und schließlich schickt man ihn mit der parabolischen Isometrie h₊^x auf einen Vektor im Punkt x+yi.

Andererseits kann man leicht überlegen, daß (mit einer Ausnahme) ein Vektor durch unterschiedliche Matrizen immer auf unterschiedliche Vektoren abgebildet wird.
Die Ausnahme ist: die Matrizen A und -A beschreiben dieselbe Abbildung der hyperbolischen Ebene.

Mit PSL(2,R) bezeichnet man die Gruppe, deren Elemente die Matrizen aus SL(2,R) sind, wobei aber jeweils A und -A als dasselbe Element der Gruppe sein sollen.

Man sieht also, daß jeder Einheitsvektor in der hyperbolischen Ebene einer eindeutigen Matrix aus PSL(2,R) (also einer bis auf plus/minus eindeutigen Matrix aus SL(2,R)) entspricht.

Nebenbei sieht man daraus auch, daß jede Matrix aus PSL(2,R) sich als (eindeutiges) Produkt aus einer elliptischen, einer hyperbolischen und einer parabolischen Isometrie schreiben läßt. Das ist die sogenannte KAN-Zerlegung, ein Spezialfall des Satzes von Iwasawa.

Weil die Einheitsvektoren Matrizen entsprechen, kann man auch Flüsse auf der hyperbolischen Ebene durch Matrizenmultiplikation beschreiben: der geodätische Fluß zum Zeitpunkt t entspricht Multiplikation mit

Letzte Woche hatten wir den Effekt beschrieben, daß Vektoren in der 'stabilen Mannigfaltigkeit' (im Bild unten blau gezeichnet) während des geodätischen Flusses zusammenrücken, die stabile Mannigfaltigkeit also kontrahiert wird:

Dieser Effekt läßt sich beschreiben durch die Gleichung

wobei &phi^t der geodätische Fluß und h₊^s der Fluß entlang der blauen Horosphären ist.
Diese Gleichung nachzurechnen mag bei anderen chaotischen Flüssen schwierig sein - hier, beim geodätischen Fluß auf der hyperbolischen Ebene, sind die Flüsse aber durch Matrizen beschrieben und das Nachrechnen der obigen Gleichung ist nur eine einfache Matrizen-Multiplikation.

Zur instabilen Mannigfaltigkeit (die anderen, grünen Horosphären im Bild unten): diese erhält man durch Multiplikation mit
und die Tatsache, daß diese instabile Mannigfaltigkeit während des geodätischen Flusses expandiert, ergibt sich aus der Gleichung