« vorheriger Beitrag  · nächster Beitrag »

24.04.09 · 19:52 Uhr

Topologie von Flächen LXII

Kategorie: Naturwissenschaften

"in einem Weltbilde von unentschiedenem Charakter können beide einander wohl überlagern und verwirren, sich aber niemals zur inneren Einheit verbinden." (O. Spengler)

Wie letzte Woche angekündigt, wird es in den nächsten Folgen um "Überlagerungstheorie" gehen, letztlich um einen Zusammenhang zwischen 'hoch-regelmäßigen' (d.h. überall gleich gekrümmten) geschlossenen Flächen einerseits und hoch-symmetrischen Mustern in der euklidischen oder hyperbolischen Ebene andererseits herzustellen.

Eine Überlagerung eines Raumes über einem anderen sieht lokal so aus, daß der "obere" Raum aus (endlich oder unendlich vielen) Kopien des "unteren" Raumes besteht. (Je nach Anzahl der Kopien spricht man von einer 2-, 3-, ... oder unendlich-blättrigen Überlagerung.)

Wie gesagt, so sieht es lokal aus. Global können die Blätter aber durchaus auf komplizierte Weise verbunden sein, wie das Beispiel der Schraubenlinie als Überlagerung des Kreises zeigt.

Lokal sieht man (zum Beispiel) nur die dick gezeichneten Stücke: unten ein Intervall, oben unendlich viele Kopien des selben Intervalls. (In irgendeinem anderen Punkt hätte man lokal das selbe Bild.)

Das selbe noch mal als Video.
(Neben der oben abgebildeten unendlich-blättrigen Überlagerung werden in der 2. Minute des Videos noch zwei- und drei-blättrige Überlagerungen des Kreises gezeigt, die wiederum von der unendlich-blättrigen Überlagerung überlagert werden.)

Quelle: Topologie-Seminar Prof. Bothmer, Timm, Tiessen, Wittmann, Kenig, Universität Hannover

Topologisch ist die Schraubenlinie ja dasselbe wie eine Gerade. Das Video zeigt also eine Überlagerung der Gerade R1 über dem Kreis S1. (Die Animation rechts ist aus einem Artikel von Nicolas Bergeron über Thomas Pynchon.)

Wenn man eine Formel möchte: zum Beispiel die Abildung

p : R¹ ---> S¹
p(t)=(cos(t), sin(t))

ist eine Überlagerung. (Oder wenn man lieber mit komplexen Zahlen rechnet: p(z)=e^iz.)

Quelle: Ghys: Geometriser l'espace

Man sieht an dem Beispiel schon, daß Überlagerungen etwas mit Symmetrien bzw. Periodizität zu tun haben. Daß die Schraubenlinie lokal aussieht wie eine unendliche Menge von Intervallen liegt ja letztlich daran, daß Cosinus und Sinus die (selbe) Periode 2π haben.

Soweit erst mal zur Begriffsbestimmung und zu 1-dimensionalen Beispielen von Überlagerungen. Interessanter wird es dann natürlich für Flächen wie im Bild unten. Dazu in den nächsten Wochen.

Quelle: Ghys: Geometriser l'espace

Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61

 

Autor: Thilo· 0 Kommentare· Permalink· Trackback-URL

Tags: Gerade· Kreis· periodisch· Überlagerung