Topologie von Flächen LXI

Kategorie: Naturwissenschaften

Muster, Symmetrien und Geometrisierung.

In den letzten Folgen hatten wir Beispiele für symmetrische Muster der euklidischen Ebene (in der Alhambra), der hyperbolischen Ebene (in den Bildern Eschers) und auch der Sphäre gezeigt.

Was hat das mit dem Problem der Geometrisierung zu tun? Bei Geometrisierung (TvF 46) geht es ja darum, Flächen in eine besonders regelmäßige Form zu bringen. (Genauer: die Krümmung soll konstant, d.h. in jedem Punkt gleich groß sein.)

Die Fläche soll also lokal (wenn man sich nur eine kleine Umgebung eines Punktes anschaut) aussehen
- wie die Sphäre (Krümmung +1), oder
- die euklidische Ebene (Krümmung 0) oder
- die hyperbolische Ebene (Krümmung -1).
(Diese 3 Räume nennt man auch Modellräume für Krümmung +1 bzw. 0 bzw. -1.)

In den nächsten Beiträgen wird es um "Überlagerungstheorie" gehen. Das Ergebnis wird letztlich sein, daß (geschlossene) Flächen konstanter Krümmung etwas zu tun haben mit (hoch-)symmetrischen Mustern im entsprechenden Modellraum.

Heute vorab zur Illustration ein einfaches Beispiel: einen Torus bekommt man ja wie im Video unten gezeigt, in dem man die jeweils gegenüberliegenden Seiten eines Quadrats (oder auch irgendeines Parallelogramms) miteinander verklebt.

Quelle: Topologie-Seminar der Universität Hannover

Eine andere Sichtweise auf dieselbe Kontruktion:
Man denke sich die euklidische Ebene mit kongruenten Parallelogrammen gepflastert:

Diese Pflasterung hat zwei Verschiebungen (und natürlich alle durch wiederholte Anwendung dieser beiden Verschiebungen gebildeten Verschiebungen) als Symmetrien.
Und jetzt denke man sich zwei Punkte miteinander "identifiziert" (gleichgesetzt, "verklebt"), wenn sie durch eine dieser Pflasterungs-Symmetrien aufeinander abgebildet werden. Z.B.: zwei gegenüberliegende Punkte auf gegenüberliegenden Seiten eines Vierecks F werden "identifiziert", weil sie ja durch eine der beiden Verschiebungen aufeinander abgebildet werden; oder ein Punkt in irgendeinem der anderen Vierecke wird jedenfalls mit (mindestens) einem Punkt aus F identifiziert, weil man jedes der Vierecke durch eine der Pflasterungs-Symmetrien nach F verschieben kann. Was man nach dieser "Identifizierung" bekommt, ist also einfach das Viereck F, bei dem gegenüberliegende Punkte auf gegenüberliegenden Seiten "identifiziert" werden. Und dies ist gerade die Konstruktion des Torus, wie sie oben im Video gezeigt wurde. Man bekommt also den Torus, indem man Punkte der Ebene mittels der Symmetrien dieser Pflasterung "identifiziert".

Das ist jetzt natürlich alles sehr vage (der mathematische Fachbegriff wäre Quotientenraum), verständlicher wird es hoffentlich durch die nächsten Folgen zur Überlagerungstheorie. Die Quintessenz wird am Ende sein, daß der so konstruierte Torus lokal genau so aussieht wie die euklidische Ebene, und seine Krümmung deshalb 0 ist.

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