Topologie von Flächen XLI

Kategorie: Naturwissenschaften

Demiurg könnte das Universum überhaupt hierhin und dorthin ganz beliebig verschieben, verbiegen, kneten, deformieren -, wenn nur wir selbst, wir Menschen, entsprechend mitverbogen, mitverzerrt, mitgeknetet werden, bleibt für unsere Vorstellung alles ungeändert, und wir können gar nicht auf die Vermutung geraten, daß der Demiurg inzwischen an uns und allen Körpern so fürchterlich experimentiert hat.

Der Freund: Hör auf! Mir kommt schon alles ganz verschoben und verbogen vor.

Der Philosoph: Mit dieser Ansicht bist du auf dem besten Wege zur neuphysikalischen Erkenntnis der Dinge. Wir dürfen tatsächlich die uns scheinbar so vertraute Welt als eine »deformierte« betrachten, hervorgegangen aus einer anderen, von deren Abmessungen und Gestaltungen wir niemals etwas erfahren können. Du, lieber Freund, kannst vor einer Stunde die Größe und Figur des Sternes Sirius gehabt haben. Seitdem ist die knetende Faust des Demiurg in dich und ins Weltall gefahren, um dich in eine neue Größen- und Gestaltsordnung überzuführen. So wie du hier vor mir stehst, bist du geometrisch deformiert, entstellt, vom Standpunkt deiner früheren Sirius-Existenz betrachtet. Ich darf das als möglich annehmen, ohne Beweispflicht, nur darauf gestützt, daß kein Gegenbeweis geführt werden kann.

Der Freund: Aber du willst mir doch offenbar etwas »beweisen«.
(Alexander Moszkowski: Die verbogenen Welten)

Alexander Moszkowskis (zum Teil auch populärwissenschaftliche) Bücher habe ich leider noch nicht gelesen und will mich deshalb mit Kommentaren zurückhalten. Im Beitrag heute soll es jedenfalls tatsächlich nur darum gehen, Räume zu deformieren, um damit etwas zu beweisen (ganz ohne Anführungsstriche).

In der Topologie geht es unter anderem darum, Räume zu unterscheiden. Eine der Methoden dazu ist die Fundamentalgruppe.

Zur Erinnerung: Zu jedem Raum X hat man die Fundamentalgruppe Π₁X:
man fixiert einen 'Basispunkt' im Raum, und betrachte alle geschlossenen Kurven, die an diesem Punkt starten, eine Zeitlang irgendwie herumwandern und schließlich zum Startpunkt zurückkehren. Zwei Kurven können auf die offensichtliche Weise zusammengesetzt werden: laufe entlang der ersten Kurve, dann entlang der zweiten. Die Menge aller geschlossenen Kurven, mit dieser Methode des Zusammensetzens, ist die Fundamentalgruppe, wobei man aber zwei Kurven als gleich betrachten, wenn sie "homotop" sind, d.h. die eine in die andere stetig deformiert werden kann.

"Homotop" (stetig deformiert) heisst so wie im Bild (allerdings mit geschlossenen Kurven, d.h. x=y, Startpunkt=Endpunkt):

In TvF 31 hatten wir einiges an Beispielen zusammengefasst. Unter anderem, dass die Fundamentalgruppe der Kreisscheibe nur ein Element hat (mit anderen Worten: jede geschlossene Kurve in der Kreisscheibe lässt sich stetig in jede andere geschlossene Kurve deformieren) und auch, dass die Elemente der Fundamentalgruppe des Kreises gerade den ganzen Zahlen entsprechen. Beides hatten wir vage damit begründet, dass sich die Kreisscheibe in den Mittelpunkt bzw. der Kreis in die punktierte Ebene deformieren lässt. Beim Beweis zum Brouwerschen Fixpunktsatz in TvF 33 (und damit auch seinen verschiedenen Anwendungen, etwa in den Wiwi zur Existenz von Preisgleichgewichten in TvF 34) hatten wir das dann aber benutzt und deshalb will ich der Vollständigkeit halber den vagen Verweis auf Deformationen heute noch präzisieren.

Zunächst: wie letzte Woche definiert, ist eine Teilmenge A eines Raumes X ein Deformationsretrakt von X, wenn es eine stetige Abbildung p:X-->A gibt, so daß
- p(a)=a für alle Punkte a in A,
- p ist homotop zur identischen Abbildung (d.h. es gibt eine stetige Abbildung H:X x [0,1] -->X mit H(x,0)=p(x), H(x,1)=x für alle x.)

Typisches Beispiel ist (siehe Bild) die Grundfläche F eines Zylinders Fx[0,1]. p ist hier die Projektion des Zylinders auf die Grundfläche F. (Siehe TvF 40.)

Ein anderes Beispiel: der Nullpunkt 0 ist Deformationsretrakt der Kreisscheibe: setze p(x)=0 (für alle x) und H(x,t)=tx (zu verstehen als Multiplikation des Vektors x mit der Zahl t: H(x,0)=0 ist also der Nullpunkt.)
Die Behauptungen über die Fundamentalgruppe von Kreisscheibe bzw. Kreis werden also bewiesen sein, sobald man allgemein beweisen hat, dass der Deformationsretrakt A dieselbe Fundamentalgruppe hat wie der grössere Raum X.

Wenn A Deformationsretrakt von X ist, dann ist π₁A=π₁X.
Beweis: Jede geschlossene Kurve in A ist natürlich eine geschlossene Kurve in X. Man muß etwas aufpassen, weil in der Definition der Fundamentalgruppe homotope Kurven als gleich angesehen werden. Aber wenn zwei Kurven in A homotop sind, sind sie natürlich auch in X homotop. Wir haben also eine Abbildung von π₁A nach π₁X und wollen nun zeigen, dass jedes Element in π₁X einem eindeutigen Element in π₁A entspricht.
Jede Kurve γ in X ist (auf ziemlich offensichtliche Weise) in X homotop zur Kurve p(γ) in A. (Im oberen Bild: man verschiebt die Punkte der Kurve parallel zur "z-Achse" in die Grundfläche.) Weil homotope Kurven ja demselben Element in der Fundamentalgruppe entsprechen, ist also jedes Element in π₁X das Bild eines Elements in π₁A.
Und wenn man zwei Kurven in A hat, die dasselbe Element in π₁X geben, d.h. die in X homotop sind, dann kann man die Homotopie mit p nach A projizieren. Die beiden Kurven entsprachen also schon demselben Element in π₁A. Die Abbildung von π₁A nach π₁X ist also eineindeutig. QED