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05.09.08 · 11:32 Uhr

Topologie von Flächen XXX

Kategorie: Naturwissenschaften

Peano-Kurven, Differenzierbarkeit und der Einfache Zusammenhang der Sphäre.

Die (2-dimensionale Version der) Poincare-Vermutung besagt, daß die Sphäre die einzige geschlossene Fläche ist, die einfach zusammenhängend ist.

(Bei der Poincare-Vermutung, von deren Beweis durch Perelman man in den letzten Jahren öfter mal gelesen hat, handelt es sich um die analoge Aussage im 3-dimensionalen. Die 2-dimensionale Version ist natürlich schon seit dem 19. Jahrhundert bekannt.)

Einfach zusammenhängend heißt, daß sich jede geschlossene Kurve stetig in eine konstante Kurve (d.h. einen Punkt) deformieren läßt (wie im Bild).

Der schwierigere Teil der Behauptung ist, daß es neben der Sphäre keine anderen einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten gibt.
Aber zunächst sollte man sich natürlich auch überlegen, dass es tatsächlich stimmt, daß die Sphäre einfach zusammenhängend ist.

Man muß also zeigen, da sich auf der Sphäre jede stetige Kurve "stetig zusammenziehen" läßt.

Das scheint zunächst recht offensichtlich: Man nehme sich einen Punkt, der nicht auf der Kurve liegt (im Bild z.B. den "Westpol"). Und deformiere dann wie im Bild unten mittels "West-Ost-Dynamik", d.h. der Westpol bleibt fest, alle anderen Punkte werden stetig in den Ostpol geschoben.

Wenn die Kurve nicht durch den Westpol ging, wird mit dieser Deformation also die gesamte Kurve in einen Punkt "zusammengezogen".

Und wenn man eine Kurve hat, die doch durch den Westpol geht, dann nimmt man eben irgendeinen anderen Punkt, der nicht auf der Kurve liegt, dreht die Sphäre so, daß dieser Punkt auf dem Westpol zu liegen kommt, und führt anschließend die Deformation wie oben durch.

Damit wäre man eigentlich fertig. Vorausgesetzt man weiß, daß es immer einen Punkt der Sphäre gibt, der nicht auf der Kurve liegt. Dies scheint eigentlich eine Selbstverständlichkeit, aber es stimmt nicht: Letzte Woche hatten wir Beispiele sogenannter Peano-Kurven gesehen, die die gesamte Sphäre ausfüllen können. (Sie entstehen durch 'unendliche Wiederholung' aus einem Prozess, dessen erste 4 Schritte unten abgebildet sind. Das Bild zeigt natürlich eine Kurve, die nur ein Quadrat ausfüllt. Man kann aber jeweils ein Quadrat auf Nord- bzw. Südhalbkugel legen und die beiden Peano-Kurven in den Quadraten zu einer Kurve zusammensetzen, die die gesamte Sphäre ausfüllt.)

Auf eine solche Peano-Kurve kann man also die Methode der "West-Ost-Dynamik" nicht direkt anwenden.

Der Ausweg geht, wie so oft, mit Hilfe der Differentialrechnung.
Jede (stetige) Kurve läßt sich stetig in eine differenzierbare Kurve deformieren. (Das ist allgemein bekannt, aber in der Literatur habe ich es nur an einer Stelle gefunden, nämlich als Hausaufgabe in Milnor's bekanntem Buch "Topology from the differentiable viewpoint".)

Man kann also z.B. die Peano-Kurve (oder eben auch beliebige andere Kurven) zunächst in eine differenzierbare Kurve deformieren und muß sich dann nur noch Gedanken machen, wie man differenzierbare Kurven weiterdeformiert.

Das Sard-Lemma besagt, daß das Bild einer differenzierbaren Kurve Flächeninhalt 0 hat. Insbesondere kann das Bild einer differenzierbaren Kurve also nicht die ganze Sphäre sein. (Denn deren Flächeninhalt ist 4πr².)

Zu einer differenzierbaren Kurve findet man also immer Punkte, die nicht auf der Kurve liegen. (Was man ja anschaulich auch erwartet hätte.) Damit läßt sich also eine differenzierbare Kurve durch das oben beschriebene Verfahren der West-Ost-Dynamik "zusammenziehen".

Zusammengefaßt: auf der Sphäre läßt sich jede Kurve (selbst eine Peano-Kurve) zusammenziehen: man deformiert sie zunächst in eine differenzierbare Kurve und wendet anschließend die oben beschriebene West-Ost-Dynamik an. Dies beweist also, daß die Sphäre einfach zusammenhängend ist.

Das 2.Bild ist aus der ZEIT, das 3. von Colleen Robles, die anderen aus der Wikpedia.

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Autor: Thilo· 0 Kommentare· Permalink· Trackback-URL

Tags: differenzierbar· einfach zusammenhängend· Peano-Kurve· Sard-Lemma· Sphäre· stetig