Topologie von Flächen XVII

Kategorie: Technik

Coca-Cola macht aus Anlaß der EM gerade Werbung mit einer Flasche im Fußballmuster. Dabei hat man sich aber etwas vertan. Statt, wie es bei einem klassischen Fußball sein müßte, mit 5- und 6-Ecken zu pflastern, verwendet der Coca-Cola-Fußball nur 6-Ecke.

Das ist aber, wie wir letzte Woche ausführlich bewiesen hatten, überhaupt nicht möglich: jede Landkarte der Sphäre hat mindestens ein 5- oder 4- oder 3-Eck. Es gibt keine Zerlegung der Sphäre in lauter 6-Ecke. (Daraus hatten wir letzte Woche hergeleitet, daß sich jede Landkarte auf der Sphäre mit 6 Farben färben läßt. Mit erheblich mehr Computer-Aufwand, kann man zeigen, daß sich jede Landkarte auf der Sphäre sogar mit 4 Farben färben läßt.)

Überraschenderweise ist es nur auf der Sphäre schwierig, optimale Färbungen zu finden. Für Landkarten auf einem Torus weiß man schon lange, daß man immer mit 7 Farben auskommt, und wie die folgenden beiden Beispiele zeigt, gibt es auf dem Torus Landkarten mit 7 Ländern, so daß jedes Land mit jedem der 6 anderen eine gemeinsame Grenze hat. (Damit braucht man 7 unterschiedliche Farben.)

Der Beweis des 7-Farben-Satzes für den Torus ist sehr ähnlich zum Beweis des 6-Farben-Satzes für die Sphäre. Der einzige Unterschied ist, daß die Euler'sche Polyederformel für den Torus E-K+F=0 (nicht =2) ergibt (Teil 3, Teil 6).

Jede Landkarte auf dem Torus kann mit 7 Farben gefärbt werden.
Beweis: Wir zeigen zunächst, daß es ein Land mit höchstens 6 Nachbarn gibt.
Wenn wir die Länder als (krummlinige) Vielecke auffassen, und mit E,F,K die Gesamtzahl der Ecken, Kanten, Flächen bezeichnen, dann ist E-K+F=0.
Andererseits ist 3E≤2K, weil jede Kante 2 Ecken hat, aber an jeder Ecke mindestens 3 Kanten zusammenkommen. Wenn jedes Land mindestens 7 Nachbarn hätte, d.h. jede Fläche mindestens 7 Kanten hätte (und natürlich jede Kante zu 2 Flächen gehört), dann wäre 2F≤7K. Damit ergibt sich aber der Widerspruch
0=E-K+F ≤ 2/3 K - K + 2/7 K=-1/21 K < 0.
Wegen diesem Widerspruch muß es also in jeder Karte mindestens ein Land mit höchstens 6 Nachbarn geben.
Jetzt führen wir den Beweis des 7-Farben-Satzes durch vollständige Induktion nach Anzahl der Länder. Induktionsanfang (Karte mit 1 Land) ist offensichtlich. Sei der Satz bewiesen für Karten mit n Ländern.
Sei jetzt eine Karte mit n+1 Ländern gegeben. Wir wissen, daß es ein Land mit höchstens 6 Nachbarn gibt. Wenn wir dieses Land weglassen (genauer: dieses Land auf seinen Mittelpunkt zusammenziehen und die benachbarten Ländern entsprechend etwas ausdehnen), bekommen wir eine Karte mit n Ländern, die sich nach Induktionsvoraussetzung mit 7 Farben färben läßt. Weil das (n+1)-te Land höchstens 6 Nachbarn hat, bleibt eine der 7 Farben übrig, um dieses auch noch zu färben.

Auf ähnliche Weise kann man auch auf komplizierteren Flächen die minimale Zahl notwendiger Farben bestimmen.
Auf einer Fläche mit 2 Henkeln braucht man mindestens 8 Farben, auf einer Fläche mit 3 Henkeln mindestens 9 Farben, und auch für alle anderen Flächen gibt es eine exakte Formel für die Mindestanzahl an Farben.

Noch ein Bild einer optimalen Färbung für das Möbiusband (Teil 7) mit 6 Farben.