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14.11.10 · 15:45 Uhr

Das Ende der Schrödingergleichung - die Schrödingergleichung Teil VIII

Kategorie: Naturwissenschaften  ·  Kommentare: 21

Was ist nun eigentlich das große Problem der Quantenmechanik? Warum können sich Physikerinnen und Philosophinnen darüber die Köpfe heiß reden? Wenn die Schrödingergleichung alles so schön beschreibt, warum redet man dann überhaupt über "Interpretationen" und Modelle?

Der Grund ist simpel: Nach unserem heutigen Kenntnisstand gibt es einen Moment, wo die Schrödingergleichung zusammenbricht: Die Messung.

Der Kollaps der Wellenfunktion

Am Ende des letzten Teils habe ich bereits angedeutet, wo das eigentliche Problem beim Verständnis der Quantenmechanik steckt. Hier nochmal das Szenario zur Erinnerung:

Wir schicken ein Elektron auf eine Barriere, an der seine Wellenfunktion aufgespalten wird. Die Wellenfunktion besteht hinterher aus zwei Teilen: Ein Wellenpaket läuft nach links, ein anderes nach rechts (hier ist wieder mal Ψ*Ψ aufgetragen):

Wir stellen weit weg von der Barriere auf jeder Seite einen Detektor für Elektronen auf. (Wer sich keinen Elektronendetektor vorstellen kann: Jeder Röhrenfernseher hat eine Mattscheibe, die ein Elektronendetektor ist - es sind ja Elektronenstrahlen, die das Bild erzeugen.) Damit die Sache anschaulich und drastisch wird, packen wir einen der beiden Detektoren sehr weit weg, vielleicht zum Mond oder so.

Solange keiner der beiden Detektoren das Elektron gemessen hat, besteht seine Wellenfunktion laut Schrödingergleichung aus den beiden gleich großen und in entgegengesetzte Richtungen laufenden Teilen, man spricht oft von einer "Überlagerung" der beiden Teile. Wenn aber der Detektor hier das Elektron misst, dann kann es nicht mehr auf dem Mond gemessen werden. Sobald das Elektron hier im Detektor ist, muss sich die Wellenfunktion so verändern, dass der Teil, der gerade beim Mond unterwegs war, verschwindet. (Und entsprechend muss sich der Teil hier beim Detektor auch verändern, weil die Gesamtwahrscheinlichkeit, das Elektron irgendwo zu finden, ja immer gleich Eins sein muss.)

Die Wellenfunktion muss sich also verändern, und zwar sprunghaft. Laut Schrödingergleichung ist so etwas aber unmöglich. Das kann man leicht einsehen: Die Schrödingergleichung verknüpft die Änderung der Wellenfunktion an einem Ort mit der Krümmung an diesem Ort. Sie ist also eine lokale Gleichung - was weit weg am anderen Detektor passiert, kann die Wellenfunktion nicht sofort beeinflussen, sondern nur, indem sich die Wellenfunktion zwischen den beiden Detektoren passend verändert.

Bei der Messung des Elektrons passiert also etwas mit der Wellenfunktion, was die SGL nicht beschreiben kann. Man spricht auch vom "Kollaps" der Wellenfunktion, weil der eine Teil plötzlich zu Null wird. Einstein sprach von einer "spukhaften Fernwirkung".

Das schöne Quantentunnelprogramm, das ich schon letztes Mal verwendet hatte, hat zum Glück einen Knopf, mit dem man eine Messung simulieren kann ("make quantum measurement"). Nehmen wir an, so sieht unsere Situation vor der Messung aus:

Wenn unser Detektor rechts das Teilchen misst, dann sieht seine Wellenfunktion hinterher so aus:

Die "friedliche Koexistenz" von Quantenmechanik und Relativitätstheorie

Die Wellenfunktion hat sich also tatsächlich sprunghaft verändert. Wenn wir uns vorstellen, dass die beiden Wellenpaket-Anteile der Wellenfunktion sehr weit auseinander liegen, dann sehen wir, dass diese Veränderung sogar schneller als das Licht sein muss!

Alarm!! Einstein widerlegt!!! Wellenfunktionen verändern sich mit Überlichtgeschwindigkeit!!!!

Keine Panik, die Relativitätstheorie wird durch diesen Messprozess nicht wirklich berührt - die Veränderung der Wellenfunktion kann ja nicht verwendet werden, um Signale zu verschicken, denn dazu müsste ich ja am anderen Detektor wissen, dass jetzt hier ein Wellenpaket ankommt, das gleich kollabiert. Das weiß ich aber natürlich nicht, wenn es mir keiner sagt - denn die Wellenfunktion selbst kann ich ja nicht messen. (Wenn ich das tun würde, dann würde ich entweder das Elektron bei mir finden, aber dann würde die Wellenfunktion ja bei mir kollabiert sein, oder ich würde kein Messergebnis bekommen, dann würde die Wellenfunktion im anderen Detektor kollabieren.) Signale lassen sich also nicht mit Überlichtgeschwindigkeit transportieren - irgendwo stand mal der Satz von der "peaceful coexistence" von Quantenmechanik und Schrödingergleichung, der das sehr hübsch umschreibt.

Anmerkung: Im Zusammenhang mit dem Tunneleffekt gab es ja Medienberichte zum überlichtschnellen Senden von Tunnelsignalen. Darauf gehe ich hier erstmal nicht ein - gute Erklärungen der Problematik findet man hier und bei Wikipedia.

Der Kollaps der Wellenfunktion muss nicht unbedingt dazu führen, dass die Wellenfunktion sich auf einen engen Raumbereich konzentriert. Machen wir statt der Ortsmessung eine Impulsmessung, dann kennen wir hinterher den Impuls des Elektrons mit einer Genauigkeit Δp. Wie wir ja neulich gesehen haben, bedeutet das, dass wir den Ort des Elektrons nicht sehr genau kennen können:

Machen wir erst eine Ortsmessung, dann "schnurrt" die Wellenfunktion auf einen engen Raumbereich zusammen, machen wir dann eine Impulsmessung, dann breitet sie sich wieder auf einen weiten Raumbereich aus.

Ein kleines Paradoxon (Wer will, kann diesen Abschnitt schadlos überspringen...)

"Halt, stopp! Dann kann ich ja doch ein unendlich schnelles Signal schicken, oder? Denn wenn ich jetzt (sagen wir bei t=0s) das Elektron hier bei x=0 messe, dann eine Impulsmessung mache, so dass sich die Wellenfunktion sehr weit ausbreitet, dann habe ich doch eine endliche Wahrscheinlichkeit, das Elektron bei t=1 sehr weit weg zu finden, wo es aber laut Relativitätstheorie nie hingekommen sein dürfte???"

Also, haben wir gerade die Relativitätstheorie ausgehebelt und unmögliche Sachen veranstaltet? Die Antwort lautet "Nein". Für eine ebene Welle galt ja, dass sie eine genau definierte Energie und einen genau definierten Impuls hat. Eine Impulsmessung ist deshalb immer auch automatisch eine Energiemessung. Für die Messung der Energie gilt aber ebenfalls eine Unschärferelation:
ΔE Δt ≥ ℏ/2
Dabei ist Δt die Ungenauigkeit der Zeit. Mit anderen Worten: Energiemessungen brauchen Zeit. Da unsere Impulsmessung gleichzeitig eine Energiemessung ist, braucht sie ebenfalls Zeit. Je genauer wir den Impuls messen, um so weiter ist das Wellenpaket ausgebreitet, aber dafür brauchen wir eben immer mehr Zeit, so dass alles mit rechten Dingen zugeht. (Die Idee zu diesem Einwand und die Auflösung kamen mir gerade beim Schreiben - vermutlich habe ich sie schon mal irgendwo gelesen, kann mich aber nicht erinnern. Falls jemand eine Quelle für die Diskussion dieser Frage hat, wäre ich sehr dankbar. Unten in der Fußnote (*) rechne ich vor, dass die Unschärferelation erfüllt bleibt und alles mit rechten Dingen zugeht.)

Ein kurzer Blick auf's EPR-"Paradoxon"

Wir haben gesehen, dass für einen Messprozess die Schrödingergleichung nicht gilt und dass sich bei einer Messung die Wellenfunktion sprunghaft ändert. Man könnte hier einwenden, dass das Problem vielleicht daran liegt, dass die Wellenfunktion sich tatsächlich schon beim Auftreffen auf die Barriere "entscheidet", in welche Richtung sie nun laufen will - da wir die Wellenfunktion selbst nicht messen können, wäre das doch möglich, oder? Das Bild oben mit der geteilten Wellenfunktion würde also nur unsere Unkenntnis widerspiegeln, was an der Barriere passiert ist, wäre aber nichts wirklich physikalisches.

Man könnte sich ja eine Analogie in der klassischen Physik vorstellen: Ich baue eine Barriere, die mit irgendeinem Mechanismus zufällig in 50% der Fälle einen Ball durchlässt, in den anderen 50% aber nicht. Wenn ich die Barriere von Außen nicht beobachte, dann habe ich am Ende auch jeweils eine 50%-Wahrscheinlichkeit, den Ball hier oder dort zu messen - da spricht aber auch keiner vom Kollaps des Ball-Ortes oder so.

Um zu zeigen, dass die Lösung so einfach nicht sein kann, verwendet man zwei Teilchen, deren Wellenfunktionen man in geschickter Weise verkoppelt (im Fachjargon "verschränkt" genannt). Man schickt das eine Teilchen nach links, das andere nach rechts und kann dann tatsächlich beweisen, dass eine Messung des einen Teilchens den Zustand des anderen beeinflusst. Dies ist inzwischen auch experimentell so nachgewiesen worden. (Man spricht hier vom EPR-Paradoxon, nach Einstein, Podolski und Rosen, die das entsprechende Paper geschireben haben. Jörg Friedrich hat im Juli dazu eine kleine Serie verfasst.)

Die Wellenfunktion muss sich also tatsächlich irgendwie "sprunghaft" verändern, an der "spukhaften Fernwirkung" scheint kein Weg vorbeizuführen.

Was ist eigentlich eine Messung?
Wir haben jetzt also zwei ganz unterschiedliche Prozesse, die die Wellenfunktion verändern. Zum einen ist das die Schrödingergleichung, eine ganz "normale" Differentialgleichung, wie es sie in der Physik dutzendweise gibt. Nach ihr verändert sich die Wellenfunktion stetig von einem Moment zum anderen, ohne Sprünge oder sonstigen Ärger. Alles läuft mathematisch brav ab.

Und dann gibt es da den "Messprozess" - wenn ich das Elektron im Detektor messe, dann wird die Wellenfunktion zum Kollaps gezwungen - man sagt auch, der Zustand wird "reduziert". Der Physiker Penrose bezeichnet diesen Prozess deshalb auch als R-Prozess (und die Zeitentwicklung der SGL als U-Prozess, wobei das U für "unitär" steht, eine mathematische Eigenschaft der Zeitentwicklung in der SGL.)

"Nun gut," könnte man sagen, "dann ist die Welt halt so. Wenn ich eine Messung mache, dann gibt es einen R-Prozess, ansonsten richtet sich die Wellenfunktion nach der SGL." Solange ich das alles sauber mathematisch und physikalisch hinschreiben kann, wo ist das Problem?" (Um das, was jetzt kommt, bequemer hinschreiben zu können, bediene ich mich der schönen ket-Schreibweise: Alles, was man in diese Symbole einschließt | >, beschreibt eine Wellenfunktion.)

Das Problem ist, dass auch unser Detektor aus Elektronen und anderen Teilchen besteht, die sich natürlich auch nach der SGL verhalten. Wenn unser Elektron auf den Leuchtschirm trifft, sorgt es dort für die Aussendung eines Photons.

Wenn unsere Wellenfunktion aus zwei Paketen besteht, wie im Bild oben, dann haben wir zunächst (bevor wir die Detektoren erreichen) eine Wellenfunktion, die so aussieht:
Ψ = |Elektron-Paket fliegt nach links> + |Elektron-Paket fliegt nach rechts>
Trifft die Wellenfunktion auf die Detektoren, dann würden wir erwarten, dass wir das immer noch mit der SGL beschreiben können und hinterher einen neuen Zustand haben, der so aussieht:
|Elektron links absorbiert und Photon links ausgesandt> + |Elektron rechts absorbiert und Photon rechts ausgesandt>

Nehmen wir an, ich sitze beim einen Detektor und ihr beim anderen und wir haben vereinbart, dass wir uns gegenseitig sofort anrufen, wenn wir ein Photon im Detektor sehen. Dann würden wir entsprechend erwarten, dass wir schließlich einen Quantenzustand erreichen, der so aussieht:
|Ich rufe Euch an> + |Ihr ruft mich an>

In der Realität passiert das aber nie - wir beobachten immer entweder das eine oder das andere. Wie und wo aber entscheidet sich nun, wann genau eine Messung stattfindet? (Schrödinger hat das gleiche mit seiner hypothetischen Katze anschaulich gemacht: In unserem Fall würde die Katze getötet, wenn das Elektron links ankommt, aber nicht, wenn es rechts ankommt. Die Katze wäre dann in einem Zustand der Überlagerung aus |tot>+|lebendig>, was natürlich in der Realität so nie beobachtet wird.)

Das ist jetzt das echte Messproblem in der Quantenmechanik. Wann wird "entschieden", ob die Wellenfunktion kollabiert und von der Überlagerung der beiden Zustände |Elektron rechts> und |Elektron links> nur einer übrig bleibt und was passiert dabei genau?

Die Interpretationen der Quantenmechanik
Auf diese Frage gibt es verschiedene Antworten, die alle mit den Beobachtungen in Einklang stehen, aber ganz unterschiedliche Interpretationen dessen anbieten, was denn nun "tatsächlich" passiert. Die Antworten im einzelnen zu diskutieren, würde eine neue Artikelserie erfordern, deshalb will ich nur kurz die wichtigsten Ideen anreißen - als kleine Einstiegshilfe (eine gute Diskussion findet man in Kapitel 29 von Penroses "Road to Reality", das mathematisch deutlich weniger anspruchsvoll ist als der Rest des Buches):

Die Kopenhagener Deutung
Sie sagt im wesentlichen: Die Wellenfunktion ist nicht wirklich eine physikalische Größe - sie beschreibt nur, was wir über das System wissen. Eine Messung findet statt, wenn ein Objekt, das hinreichend gut durch die klassische Physik beschrieben werden kann, durch den Zustand der Wellenfunktion beeinflusst wird. Damit kann man Experimente korrekt vorhersagen, weitere Fragen stellen wir nicht, Ende der Diskussion.

Die Viele-Welten-Theorie
Nach dieser Theorie gibt es den Messprozess R nicht. Das ganze Universum befindet sich tatsächlich in einem der verrückten tot-und-lebendig-Überlagerungszustände. Da dies aber auch für unser Bewusstsein gilt, merken wir nichts davon - eine "Hälfte" unseres Bewusstseins ist im einen Zustand, die andere im anderen, und jede Hälfte merkt von der anderen nichts. (Diese Deutung ist sehr schön in David Deutschs Buch "Fabric of Reality" dargestellt, das leider in den späteren Kapiteln etwas "abdriftet".)

Dekohärenz
Das ist eigentlich mehr ein Geschummel als eine echte Lösung: Nach der Dekohärenz sorgt die Wechselwirkung mit den unglaublich vielen anderen quantenmechanischen Objekten in der Umgebung innerhalb kürzester Zeit dafür, dass der Überlagerunszustand der Wellenfunktion nicht mehr wirklich wahrgenommen werden kann.

Bohms Pilotwellen
Das ist eine sehr hübsche Umdeutung der Quantenmechanik, bei der das Elektron tatsächlich als Punktteilchen existiert und auch immer an einem wohldefinierten Ort ist. Es wird durch die Wellenfunktion "geführt", deshalb spricht man eben von Pilotwellen. Diese Theorie lässt sich mathematisch konsistent formulieren und sie hat auch keine Probleme mit Dingen wie dem EPR-Paradoxon; die Wellenfunktion selbst ändert sich allerdings nach wie vor sprunghaft und nichtlokal.

Schließlich gibt es noch eine weitere Möglichkeit, die allerdings über die gegenwärtige Quantenmechanik hinausgeht:

Neue Physik
Vielelicht ist der Messprozess ein wohldefiniertes physikalisches Ereignis, das durch neue Physik beschrieben werden muss. Von Penrose gibt es beispielsweise die Idee, dass eine Messung dann stattfindet, wenn die Wellenfunktion mit einem Gravitationsfeld wechselwirkt. Damit schlägt er gleich zwei Fliegen mit einer Klappe: Das Messproblem ist gelöst und ein Weg zur Quantisierung der Gravitationstheorie wird dadurch vielleicht auch noch eröffnet.

Die meisten Physikerinnen machen sich über diese Fragen eher wenig Gedanken. In Physikvorlesungen und Lehrbüchern wird wohl die Kopenhagener Deutung favorisiert, aber meiner Ansicht nach ist das lediglich ein historischer Zufall - hätte Bohr die Idee der Pilotwellen gehabt, würde vielleicht diese Theorie heute in den Lehrbüchern stehen.

Ich selbst finde diese Fragen sehr wichtig, habe aber keine eindeutige Meinung, welche Interpretation die Richtige ist. Die Kopenhagener Deutung ist sehr pragmatisch, aber die dahintersteckende "Frag-nicht!"-Haltung ist natürlich irgendwie unbefriedigend. Viele-Welten-Theorien mag ich aus Prinzip nicht (ich weiß, echt wissenschaftliche Begründung), Dekohärenz ist nicht wirklich eine Alternative, die Bohm-Idee ist nett, aber sieht auch irgendwie unnötig kompliziert aus, und für neue Physik gibt es bisher keine Hinweise (Penroses erste Ideen zum Kollaps durch Gravitation konnten inzwischen durch Messungen widerlegt werden - die Theorie lässt sich zwar modifizieren, aber so richtig zwingend sieht sie auch nicht aus.) Die Frage bleibt also unbeantwortet und spannend - deshalb kann man über sie auch so schön diskutieren...

Und damit bin ich am (vorläufigen?) Ende meiner kleinen Quantenmechanik-Serie angelangt. Wie üblich gilt: "Wenn es Ihnen gefallen hat, empfehlen Sie uns weiter, wenn nicht, behalten Sie's für sich."

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(*) Hier also die versprochene Rechnung - wie gesagt, sie ist komplett auf meinen Mist gewachsen, so dass ich für ihre Korrektheit (ich bin wohl etwas schlampig mit der genauen Definition der Δs) nur bedingt garantiere:

Es ist E=p²/2m
Also ΔE = Δp²/2m
Mit p=mv ergibt sich
ΔE = Δp Δv/2
Es ist also
ℏ/2 ≤ ΔE Δt= Δp Δv Δt /2
Die Ortsunschärfe ergibt sich aus Geschwindigkeit und Zeit
ℏ/2 ≤ Δp Δx /2
Auch nach der Messung sind also Ort und Impuls nur innerhalb der erlaubten Unschärfe bekannt.

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Gesamte Serie zur Schrödingergleichung:

Teil I: die Gleichung
Teil II: Warum die Energie quantisiert ist
Teil III: Jetzt wird's komplex
Teil IV: Alles im Kasten
Teil V: Alles zu seiner Zeit
Teil VI: Alles unscharf?
Teil VII: Mit dem Kopf durch die Wand
Das Ende der Schrödingergleichung

 

Autor: MartinB· 21 Kommentare· Permalink· Trackback-URL

Tags: Elektron· EPR· EPR-Paradoxon· Messproblem· Physik· Quantenmechanik· Quantenphysik· Schrödingergleichung