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Martin Bäker ist Physiker.
Er hat in Hamburg studiert und über die Simulation von Elementarteilchenprozessen promoviert. Seit 1996 erforscht er an der TU Braunschweig das mechanische Verhalten moderner Werkstoffe.
Wie Cäsar über sich in der dritten Person zu schreiben, findet er ein wenig seltsam.
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25.08.10 · 17:45 Uhr
Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 2. Im Vakuum
Kategorie: Naturwissenschaften · Kommentare: 33
Im ersten Teil dieser kleinen Serie habe ich erklärt, dass das elektrische und das magnetische Feld Vektorfelder sind. An jedem Punkt des Raumes muss man sich also zwei Pfeile befestigt denken, einen für das elektrische Feld E, einen für's Magnetfeld B. Im zweiten Teil schauen wir uns jetzt die Maxwellgleichungen im Vakuum an, also dann, wenn keine elektrischen Ladungen in der Nähe sind.
Die Maxwellgleichungen beschreiben den Zusammenhang zwischen der zeitlichen und der räumlichen Änderung der EM-Felder. (EM ist ab jetzt das Kürzel für elektromagnetisch, das spart dem faulen Blogger etwas Tipperei.)
Die zeitliche Änderung eines Vektors kennen wir noch aus Teil 1
Habe ich ein Vektorfeld, das sich ändert, dann gibt es an jedem Punkt im Raum einen Wert für die zeitliche Ableitung. Die zeitliche Ableitung eines Vektorfeldes ist also selbst auch ein Vektorfeld.
Die räumliche Änderung eines Vektorfeldes ist nicht ganz so einfach. Für die Maxwellgleichungen im Vakuum brauchen wir die sogenannte Rotation.
Zunächst mal schauen wir uns die Rotation in zwei Dimensionen an, das lässt sich leichter zeichnen. Wir zeichnen ein Vektorfeld und dann zeichnen wir eine kleine "Schleife" in das Vektorfeld - die Form der Schleife ist egal, am einfachsten ist es, wir nehmen ein Quadrat:
Wir laufen die Schleife entlang, und zwar gegen den Uhrzeigersinn. Dabei treffen wir auf jede Menge Vektoren in unserem Vektorfeld (eigentlich auf unendlich viele, aber ich habe nur vier gezeichnet...). Wenn wir nach oben oder unten laufen, dann nehmen wir von jedem Vektor, dem wir begegnen, die Komponente, die in die senkrechte Richtung zeigt, wenn wir nach links oder rechts laufen, nehmen wir die horizontale Komponente. (Die Zerlegung in Komponenten haben wir in Teil 1 kennengelernt.)
In dem kleinen Bildchen auf der rechten Seite oben habe ich die linke untere Ecke der Schleife rausgezeichnet, um das zu illustrieren: Der Vektor an der Ecke hat eine senkrechte Komponente von 4 Kästchen, eine horizontale von -1 Kästchen. Da wir die Schleife gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen, und an der linken unteren Ecke sind, zeigt die senkrechte Komponente entgegen unserer Laufrichtung, deshalb bekommt sie ein Minuszeichen. Die horizontale Komponente zeigt auch gegen unsere Laufrichtung (auf der unteren Kante), deshalb hat sie auch ein Minus. Insgesamt bekommen wir für den Vektor an dieser Ecke einen Wert von -5.
So laufen wir jetzt um die ganze Schleife herum und sammeln alle Komponenten auf, die jeweils in der Richtung unserer Schleife zeigen. Am Ende kommt ein Zahlenwert heraus. Dieser Wert ist die Rotation des Vektorfeldes an diesem Punkt (dem Mittelpunkt meines Quadrats).
So eine Schleife setzt man jetzt an jeden Punkt des Raumes, so dass man an jedem Punkt eine Zahl hat.
Hier in meiner Zeichnung hängt der Wert, der am Ende rauskommt, natürlich von der Form und Größe der Schleife ab - um einen korrekten Wert zu bekommen, muss man die Schleife immer kleiner schrumpfen lassen, und dann kann einem ein freundlicher Mathematiker beweisen, dass dann der Wert der Schleife von der genauen Form und allem Möglichen anderen unabhängig ist. Im Folgenden mache ich die Schleife immer gleich groß, dann kommen auch sinnvolle und konsistente Werte heraus.
Als Beispiel - das wir später noch brauchen - nehmen wir noch mal ein einfaches Vektorfeld, bei dem alle Pfeile immer nach oben zeigen und bei dem die Vektoren von links nach rechts immer länger werden, aber in jeder "Spalte" immer gleich sind:
Wir durchlaufen wieder unsere Schleife. An der oberen und unteren Kante passiert nichts, weil die Vektoren ja senkrecht darauf stehen. Links und rechts bekommen wir einen Beitrag, der Beitrag links geht gegen die Laufrichtung und zählt negativ, der Beitrag rechts geht in Laufrichtung, ist also positiv. Insgesamt bekommen wir links einen Wert -2 und rechts einen Wert +3 . Zählt man alles zusammen, ergibt sich für die Rotation ein Wert von +1 für diese Schleife. Anders als oben habe ich hier auf jeder Kante nur einen Vektor angeguckt - das spielt keine Rolle, solange man konsistent bleibt und das Vektorfeld sich schön langsam von Ort zu Ort ändert.
Lege ich die Schleife woanders hin, bekomme ich immer denselben Wert, weil immer der Pfeil rechts ein Kästchen länger ist als der Pfeil links. Das Feld hat also eine konstante Rotation (wer's nicht glaubt, malt noch ein paar Schleifen und prüft es nach).
Noch etwas Geduld, gleich sind wir bei den Maxwellgleichungen.
Eine Kleinigkeit fehlt uns noch, dann können wir die Maxwellgleichungen im Vakuum hinschreiben: Bisher waren wir in zwei Dimensionen, aber unsere Welt ist ja dreidimensional. In drei Dimensionen müssen wir uns natürlich fragen wie wir die Schleife für die Berechnung der Rotation legen sollen. Dafür gibt es (bei unserer quadratischen Schleife) drei Möglichkeiten: (Das Bild sieht schlimmer aus, als es ist)
Wir können die Schleife um die x- um die y- oder um die z-Richtung herumlegen.
Für jede der drei Schleifen bekommen wir einen Wert der Rotation. Den Wert für die Schleife in der y-z-Ebene ordnen wir der x-Achse zu (links), den Wert für die x-z-Ebene der y-Achse (mitte) und den Wert für die x-y-Ebene der z-Richtung (rechts).
Die Rotation hat also drei Komponenten, und damit ist sie selbst auch ein Vektor.
(Anmerkung für die, die selbst rechnen wollen: Mit dem Drehsinn der Schleife muss man etwas aufpassen - am einfachsten denkt man sich, dass man einen Korkenzieher in eine Flasche 2002er Cabernet Sauvignon (zur Not tut's auch ein anderen Wein) steckt, die man in Richtung der jeweiligen Achse gestellt hat. Die Schleife muss sich so drehen, dass der Korkenzieher sich in den Korken hineindreht. Alternativ kann man die Finger der rechten Hand in Schleifenrichtung biegen, dann zeigt der Daumen in die Richtung der Achse.)
Ich hoffe, es hat noch irgendwer bis hierher durchgehalten, denn jetzt kommt sie: Unsere erste Maxwellgleichung:
rot E =- dB/dt
In Worten: Die Rotation des elektrischen Feldes E ist gleich der negativen zeitlichen Änderung des Magnetfeldes. Diese Gleichung gilt an jedem Punkt des Raumes (und auch zu jedem beliebigen Zeitpunkt).
Was bedeutet das?
Nehmen wir an, das zweidimensionale Vektorfeld von eben, das nach rechts immer größer wird, wäre ein elektrisches Feld und ich hätte kein Magnetfeld vorliegen. Weil die Rotation des Feldes überall konstant ist, würde deshalb ein räumlich konstantes Magnetfeld entstehen.
Wenn ich andersherum ein Magnetfeld zeitlich verändere (indem ich beispielsweise einen Magneten bewege), dann erzeuge ich dadurch automatisch ein elektrisches Feld. Das ist beispielsweise der Trick bei einem Dynamo - ein Magnet dreht sich, erzeugt ein elektrisches Feld, das übt eine Kraft auf Ladungen in einem Draht aus und - voila - die Fahrradlampe leuchtet.
Und? Bereit für die zweite Maxwellgleichung? Sie lautet
rot B =a dE/dt
a ist dabei eine (positive) Zahl, zu der ich später mehr sage. Die zweite Maxwellgleichung sieht der ersten ziemlich ähnlich - E und B haben ihre Rollen getauscht und wir haben statt eines Minuszeichens eine Konstante a.
Wenn also ein B-Feld vorhanden ist, dessen Rotation nicht Null ist, dann ändert sich das E-Feld. Und wenn ich das E-Feld ändere, dann bekomme ich ein B-Feld.
Zeitlich sich ändernde elektrische Felder erzeugen also Magnetfelder. Wenn die erzeugt werden, dann ändern sie sich, also erzeugen sie wiederum elektrische Felder. Klingt ein bisschen so, als hätten wir so eine Art Perpetuum mobile - da müsste man ja lauter sich gegenseitig erzeugende EM-Felder bekommen, immer macht das eine das andere.
Geht sowas?
Und ob das geht! So ein tolles Felder-erzeugen-sich-gegenseitig-Gebilde hat auch einen Namen: Elektromagnetische Welle, auch bekannt als Licht.
Wie man so eine Lichtwelle im Detail baut, sehen wir im dritten Teil der Saga, in dem das böse Imperium - ääh, nein, das war eine andere Saga...
Hier ein Überblick über die ganze Serie:
Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 1. Felder
Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 2. Im Vakuum
Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 3. Wir bauen eine Welle
Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 4. Voll geladen
Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 5. Unter Strom
Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 6. Spieglein, Spieglein
Autor: MartinB· 33 Kommentare· Permalink· Trackback-URL
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Kommentare (33)
rolak·
25.08.10 · 18:59 Uhr
rot(E)[=const + ≠0] => B~t, also nicht konstant oder habe ich mich verlaufen? Ein wenig auf jeden Fall, da ich iwie davon ausging, daß Maxwells Gleichungen fast formellos hergeleitet würden. Doch das scheint mir nach etwas Nachdenken illusorisch, spätestens bei so etwas wie 'Forminvarianzen unter Eichtransformationen' dürften zu viele weiße Fahnen zu sehen sein ;-)@rolak
Ich meinte im Raum konstant, nicht in der Zeit. Ich betrachte hier immer nur einen einzigen Zeitschrittvon "jetzt" nach "gleich".
Maxwellgleichungen *herleiten*? Aus der Quantenelektrodynamik?
Gibt's anschaulich bei Feynman besser, als ich sowas kann.
Nein, mein Ziel ist es, Leuten, die sich vor Formeln gruseln, aber Physik interessant finden, eine Idee zu geben, was in solchen Formeln steckt.
PS: Eichtransformationen sind gar nicht so schlimm, jedenfalls wenn man sich auf ein Gitter beschränkt - man verbindet Stäbe an Gitterpunkten mit verdrillten Gummibändern (die sind das U(1)-Eichfeld), ne Eichtransformation ist dann ein Drehen der Stäbe - dazu gab's vor Ewigkeiten mal einen Spektrum-Artikel...
/Raum,Zeit/ aaahso
/herleiten/ es ging mir nur um das Erzählen von meiner (durch nichts begründeten) Extrapolation aus dem Titel der posts. Andererseits erinnere ich mich an die (saugute) Analysisvorlesung (im Rahmen des Physikgrundstudiums), wo ausgehend von 'diffusen' Aussagen über Mengen nach&nach alles abgehakt wurde, was in der Analysis eben relevant ist. Speziell anfangs erzeugte die Antwort auf die vom Dozent gestellte Frage "Weiß einer, welchen bekannten Satz wir hier soeben bewiesen haben?" reihenweise erstaunte bis ungläubige Gesichter. Später nahm dann die Dichte im Hörsaal ab ;-)
/Eichen/ Es sind die Wortungetüme, die die Fahnen und den Unmut hervorzaubern - merke ich immer wieder bei meinen Versuchen, Anderen ihren Rechner etwas näher zu bringen, techspeak kills. Hintenrum zum Ziel bringt eher mal ein angemessenes 'ach so, ist ja recht einfach' hervor
...
@MartinB
Darf man fragen wo?
(Wenn das im Feynmans Buch "Quantenelektrodynamik: Eine Vorlesungsmitschrift" steht, war das nicht meine klügste Frage...)
Im übrigen halte ich die integrale Formulierung für leichter verständlich für Laien. Gerade wenn es (wie im nächsten Beitrag?) um die Divergenz eines Vektorfeldes geht.
@Niels
Feynman QED-strange theory of light and matter
O.k., er leitet die Maxwellgleichungen nicht wirklich her, er erläutert "nur" das Verhalten von Licht und Materie direkt aus der QED.
Integralformulierung? Wenn ich ehrlich bin, nutze ich die, ohne es zu sagen (siehst Du im 2. teil - im Endeffekt diskretisiere ich die Ableitungen, das kommt aufs selbe raus), aber in Integralformulierung sind die Maxwellgleichungen zu hässlich, das geht nicht...
Divergenz gibt's aber erst in Teil 4...
@MartinB
Gefaellt mir wirklich gut. Ich schlage das schon mal fuer den Didaktikpreis bei Scienceblogs vor.
Oha, ja, das habe ich ganz vergessen - unabhängig von meinem Gegrummel ganz oben bezgl ganz weniger Punkte die mir am post und an mir aufgefallen sind ist nicht nur dieser Post, sondern die ganze ( ;-) 2-teilige) Serie bisher äußerst anfängergeeignet und allgemein gut zu lesen. Oder halt zum Stöbern, wenn man selber es Anfängern (auf deren Wunsch) nahebringen möchte.
Die scribbles sind an diesem positiven Eindruck übrigens beteiligt, sie passen so gut zum Rest.
Danke für die Blumen. Mit wieviel Millionen ist denn der Didaktikpreis dotiert? ;-)
Die scribbles sind übrigens aus Faulheit entstanden - im Grafikprogramm macht sowas einfach mehr Mühe als zeichnen und einscannen. Dann wurden sie mir aber auch ganz sympathisch.
Anfängerfrage: In der Schule haben wir die Maxwellgleichungen mit Kurvenintegralen hingeschrieben. Ist das das Gleiche wie die Rotation?
@Jonas
Ja, die Kurven- und Flächenintegrale sind im Prinzip das gleiche wie Rotation und Divergenz (Divergenz kommt in Teil 4...)
Meine kleinen Schleifen hier sind ja eigentlich Linienintegrale - ich zähle ja lauter Vektorkomponenten entlang der Linie zusammen.
Maxwellgleichungen mit Integralen in der Schule find ich ganz schon cool - ist das ein Physik-LK, wo man sowas macht?
@Jonas
Ja, die Kurven- und Flächenintegrale sind im Prinzip das gleiche wie Rotation und Divergenz (Divergenz kommt in Teil 4...)
Meine kleinen Schleifen hier sind ja eigentlich Linienintegrale - ich zähle ja lauter Vektorkomponenten entlang der Linie zusammen.
Maxwellgleichungen mit Integralen in der Schule find ich ganz schon cool - ist das ein Physik-LK, wo man sowas macht?
Die Maxwell-Gleichungen in Integralform sind ganz anschaulich. Das kann man den Schülern auch verständlich erklären. Habe sie selbst über mehrere Stunden vor dem Kurs "hergeleitet".
Seit wann kann man denn senkrecht aufeinanderstehende Vektoren einfach addieren? Wie im Beispiel x=-1 und y=-4 = -5 ? Kommt da nicht Pythagoras zur Anwendung, sollte das Resultat also nicht +/- Wurzel 17 sein?
@Gwunderi: Was da addiert wird, sind nicht direkt die Vektoren, sondern die Komponenten der Vektoren entlang einer "Schleife", wie im Text beschrieben (mathematisch: da wird das Integral über Vektor E mal Vektor ds gebildet, wobei das "mal" für ein Skalarprodukt steht und der infinitesimale Vektor ds jeweils lokal tangential zur Schleife steht).
Hilfe !
“…
rot E = -dB/dt
Nehmen wir an, das zweidimensionale Vektorfeld von eben, das nach rechts immer größer wird, wäre ein elektrisches Feld und ich hätte kein Magnetfeld vorliegen. Weil die Rotation des Feldes überall konstant ist, würde deshalb ein konstantes Magnetfeld entstehen. ...“
Also const =-dB/dt
Integriert :
const * t = -B , also ein zeitlich veränderliches Magnetfeld .
Und schon kapier ich’s nicht. Wo ist der Baum oder das Brett , das ich vor lauter Wald nicht sehe ?
Danke im Voraus, bertram
sorry ,
B=const - Frage hat sich erledigt, hab's nur verpennt.
Grüße, bertram
Maxwell im vakuum - Rotation - addieren der Vektoren: Frage : Warum wird die Komponente -1 negativ gezählt? Ist nicht -1 gegen Zählrichtung +1 ?
@Klaus
Der Laufrichtungspfeil geht nach rechts (wir sind in der linken unteren Ecke), der Komponentenpfeil geht gegen die Laufrichtung, also bekommt er ein Minus.
Vielleicht ist das verwirrend, weil ich die -1 auch in einem globalen Koordinatensystem angegeben habe? Beim Laufen auf dem Pfad ist das globale x-y-System aber egal, man projiziert einfach den Pfeil auf die Laufrichtung, zeigt er in dieselbe Richtung, zählt er positiv, andernfalls negativ.
War das jetzt verständlich (bin mir nicht sicher...)?
Es ist einfach super, dass es so etwas gibt, dass Wissenschaftler komplexe wissenschaftliche Zusammenhänge dem Normalbürger zu erklären versuchen. Zudem ist die hier gebotene Art sehr erfrischend und angenehm. Dennoch bleiben für mich einige Fragen offen :
a) Aufgrund der Vereinbarung im 1.Teil gehören die jeweiligen Vektoren zu genau dem Ort, an dem sich der Fußpunkt des jeweiligen Vektors befindet. Dann sind doch eigentlich die Beiträge der beiden Vektoren am linken oberen und rechten oberen Eckpunkt der eingezeichneten Schleife genau so bei der Berechnung von rot E zu berücksichtigen wie die der Vektoren an den beiden unteren Eckpunkten; oder nicht? Oder gibt es eine physikalische Notwendigkeit, dies nicht zu tun? Wenn nicht, dann müsste doch eigentlich für diese Schleife gelten: rot E = 2. Könnte man nicht einfach, um diesem Problem auszuweichen, die Schleife so legen, dass die oberen Eckpunkte nicht direkt auf dem Weg liegen?
Oder (was möglicherweise noch sinnvoller wäre) stellen die eingezeichneten Vektoren einer jeden senkrechten Spalte und waagrechten Zeile lediglich den entsprechenden Mittelwert-Vektor pro Seitenlänge der stets gleich groß gedachten und anschließend einzuzeichnenden Schleifenwege dar? Dann wäre es meiner Ansicht nach sinnvoll, die quadratisch gezeichneten Schleifenwege so zu legen, dass die Fußpunkte der gezeichneten Mittelwert-Vektoren halbwegs in der Mitte der Seitenlängen der Wegschleifen zu liegen kämen. Dann wäre dem Gedankengang entsprechend an jeder Seite nur jeweils ein Vektor (als Ersatz für alle anderen) aktiv.
b) rot E hat hier in diesem Beispiel nur eine Komponente; so bräuchte man dazu zur Veranschaulichung ja auch nur eine Achse. Wäre es möglich, eine zusätzliche Skizze nachzutragen, um diesen einkomponentigen Vektor rot E (oder gar B) in einem 3-dimensionalen Schrägbild (als Erweiterung der bereits gezeichneten zweidimensionalen elektrischen Feldvektoren) sichtbar zu machen?
c) In den Trugschluss "Wenn die Ableitung nach der Zeit konstant ist, kann doch B nicht konstant sein" bin ich, genau wie bertram, Kopf über hineingestolpert. Könnte man zur Vermeidung dieses (zugegeben selbstverschuldeten) Missvertändnisses an geeigneter Stelle ein Adjektiv einfügen?
Danke und Gruß an den Autor
@gm
Danke für's Lob, so ganz komme ich mit deinen Fragen leider nicht klar:
a) Irgendwie kann ich dir nicht folgen, fürchte ich. Du beziehst dich auf das rotE-Bild bei dem rotE=-2+0+3+0 ist, richtig? Da nehme ich in der Berechnung doch alle vier eingezeichneten Vektoren an den Ecken mit.
Nochmal zum Mitschreiben:
Links oben fangen wir an und gehen von oben nach unten. Die Kante hat die Länge 1 und der Vektor ist konstant und in Richtung der Kante ist seine Komponente -2. Also ist der Beitrag dieser Kante gleich -2.
Dann gehen wir unten horizontal, Kante und Vektor senkrecht, Beitrag ist Null.
Dann gehen wir rechts nach oben, der Vektor bleibt konstant, die Länge der Kante ist wieder ein, also +3*1=3. Und oben horizontal passiert nichts, in der Summe also -2+0+3+0=1.
Oder meinst du, weil ich einen Vektor oben und einen unten gezeichnet habe, zählt der auf der Kante zweimal? So ist es nicht - du musst eigentlich den Wert desVektors auf der Kante mit der Länge der Kante multiplizieren. Wenn der Vektor oben anders wäre als unten, dann müsstest du entsprechend z.B. den Mittelwert des Vektors auf der Kante nehmen.
Ich hätte es auch anders zeichnen können, so wie du es vorschlägst - mathematisch ist das am Ende egal, weil man die Kanten unendlich kurz macht.
Ganz sicher bin ich mir nicht, ob ich die Frage richtig verstanden habe, im Zweifel einfach nochmal beschweren.
b) Das ist doch in dem unteren Bild dargestellt, und im 3. Teil mache ich das ja auch nochmal - weiß nicht genau, was dir fehlt. Eigentlich müsstest du es dir damit überlegen können, sonst musst du die Frage noch etwas präzisieren.
c) Ja, das hätte ich gleich machen sollen, jetzt ist es drin.
Entschuldige, ich glaube ("hoffe") ich hab's inzwischen kapiert. Nachdem du ausdrücklich betonst, dass du doch die Beiträge aller vier Vektoren berücksichtigt hast, denen man beim Umlaufen der Schleife begegnet, kann unser Missverständnis höchstens in meiner Fehlinterprätation der von dir verwendeten Einheiten liegen.
Folgende Bemerkung in deinem Artikel spräche ebenfalls für diesen Umstand:
Zitat: "Insgesamt bekommen wir links einen Wert -2 und rechts einen Wert +3"
Dummerweise hatte ich den Zahlenwert +2, der am linken untere Ecke der Schleife beim dortigen Vektor seht, als dessen zweite Koordinate angesehen. In Wirklichkeit hat dieser Vektor jedoch lediglich die Koordinaten Null und zwei Kästchen, also 0 und +1, was in der Summe mit dem oberen Vektor den Wert +2 ergibt.
Es kann wohl nicht anders sein -- oder?
@gm
"In Wirklichkeit hat dieser Vektor jedoch lediglich die Koordinaten Null und zwei Kästchen"
Ja, die +2 ist einfach die Länge des Vektors in senkrechter Richtung.
Ist damit alles klaro? Sonst einfach weiterfragen.
@gm
"In Wirklichkeit hat dieser Vektor jedoch lediglich die Koordinaten Null und zwei Kästchen"
Ja, die +2 ist einfach die Länge des Vektors in senkrechter Richtung.
Ist damit alles klaro? Sonst einfach weiterfragen.
Es ist mir schon klar, dass das Linienintegral von E um die Schleife gleich der negativen Ableitung des magnet. Fusses durch die Schleife nach der Zeit ist. Dann ergibt sich bei der Seitenlänge 1LE der von dir angegebene Wert 1.
Ich hatte lediglich versucht, deinen Weg der Bildung von rotE nachzuvollziehen, wie ich ihn laut deiner Vorschrift und Texterklärung verstanden habe; wonach man die entsprechenden Komponenten der vier Vektoren an den Ecken mit den entsprechenden Zählrichtungen einfach addiert. Auch mein letzter "Rettungsversuch" mit den Längeneinheiten 2 Kästchen = 1LE haut nicht hin. Möglicherweise sehe ich einfach vor lauter Bäume den Wald nicht.
Macht aber nichts.
Dies tut der Sache insgesamt keinen Abbruch: Deine Texte und Erklärungen sind summa summarum einfach super.
Und dafür nochmals vielen Dank!
... und jetzt werde ich Teil 3 verschlingen.
@gm
"wonach man die entsprechenden Komponenten der vier Vektoren an den Ecken mit den entsprechenden Zählrichtungen einfach addiert."
Vielleicht hilft das hier weiter: Wenn du eine Kante entlang läufst, dann betrachtest du die beiden Vektoren an den Enden und bildest daraus den Mittelwert, und machst jetzt mit dem dieselbe Rechnung. Das ist, glaube ich, das, was du in deinem ersten Kommentar auch wolltest - es kommt genau aufs selbe hinaus. Ich versuche hier einfach, das Linienintegral möglichst simpel zu umschreiben - aber wenn du das kennst, dann siehst du ja, dass wir eigentlich E ds berechnen, und meine Beispiele sind immer so gebaut, dass sich die relevante Komponente von E auf ds nicht ändert.
Hab schon verstanden.
Darf ich in aller Bescheidenheit einen kleinen Vorschlag machen?
Vielleicht könntest du im ersten Teil von "Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln" eine kleine Ergänzung anbringen: eine anschauliche Erklärung der Begriffe "Fluss" und "Zirkulation" --- mit ein paar Bildchen und ohne Integral --- so ganz nach der gewohnten Art eines MartinB, (und ein bisschen so wie einst R. Feynmann).
Es wäre zum besseren Verständnis dessen, was hier physikalisch vor sich geht, sicher sehr hilfreich.
Darf ich Danke sagen?
Gruß gm
@gm
"Fluss" und "Zirkulation" als Begriffe nochmal einzuführen, ist vermutlich ne gute Idee - ich verwende ja nur "Divergenz" (Teil 4) und "Rotation". Ich habe das aber absichtlich nicht im 1. Teil gemacht, weil ich möglichst schnell dahinkommen wollte, die Maxwell-Gleichungen hinzuschreiben. Muss ich nochmal drüber nachdenken, ob und wie ich das hier einbauen kann.
"Darf ich Danke sagen?"
Na immer doch :-))
Anfangs versuchte ich durch meine etwas "dämlichen" Fragen lediglich heraus zu finden, mit welcher Methode du rot E überhaupt berechnest. Aufgrund deiner Hilfestellungen ...
Zitat vom 22.12.:
"Ich versuche hier einfach, das Linienintegral möglichst simpel zu umschreiben - aber wenn du das kennst, dann siehst du ja, dass wir eigentlich E ds berechnen."
... war dann klar: Um das für den Laien gewiss unverständlichere Vektorprodukt aus dem vektoriellen Differentialoperator und dem elektrischen Feldvektor E zu vermeiden, hast du einfach die "Zirkulation des Vektors E" um ein relativ großes Quadrat mit dem Umfang von vier LE gebildet und dieses Ergebnis rot E zugeschrieben, obwohl rot E eigentlich eine punktuelle Größe ist.
Führt man beide unterschiedlichen Berechnungsmethoden durch, so stellt man fest, dass sich - aufgrund deiner raffinierten Wahl des linearen Anstiegs der y-Komponente Ey = mx+t und dem dazu gehörigen Einheitsquadrat - tatsächlich jeweils dieselbe Maßzahl m für rot E ergibt. Und im vorliegenden Fall ist m eben gleich 1.
Dies gelingt dir, wie mir scheint, allerdings nur, weil du die Trümpfe der theoretischen Physiker didaktisch gezielt einsetzt bzw. ausnützt, die alle unliebsamen Konstanten einfach gleich EINS setzen und dies samt den zugehörigen Größeneinheiten. Die ganze Geschichte vereinfach sich dadurch und macht wohl den Blick frei auf das Wesentliche der Physik. Dass man anschließend, nach der Integration, das Resultat der Integration noch durch den Wert der Fläche der Integrationsschleife dividieren müsste (und dies theoretisch wohl auch tut), ist nicht weiter der Rede wert, denn nicht ohne Grund wurde sie wohl von dir von vorneherein exakt gleich 1 FE gewählt. So, dass nicht einmal R. Feynman etwas dagegen einwenden kann (könnte), der in seinen Vorlesungen detailliert beweist:
Zitat aus Band II / Elektromagnetismus und Materie Teil 1 (ISBN: 3 - 486 - 33701 - 7):
"Unser Ergebnis ist das folgende: die Zirkulation eines Vektors C um ein unendlich kleines Quadrat ist die Komponente von rot C normal zur Fläche mal dem Flächeninhalt des Quadrats."
Kurzum: deine Ideen und Wege sind einfach überraschend, Klasse und erfrischend.
Einen Gedanken würde ich dennoch gerne anbringen.
Zitat:
"Weil die Rotation des Feldes überall konstant ist, würde deshalb ein räumlich konstantes Magnetfeld entstehen."
Wäre mit dem Ausdruck "homogen" die herrschende Situation nicht ebenso gut zu beschreiben -- analog zum homogenen Magnetfeld einer langgestreckten Spule, bei der die Stromstärke kontinuierlich erhöht wird?
"Dies gelingt dir, wie mir scheint, allerdings nur, weil du die Trümpfe der theoretischen Physiker didaktisch gezielt einsetzt bzw. ausnützt"
Stimmt genau. Ich habe ja oben einen kleinen Warnungssatz eingebaut, in dem Absatz, der mit "hier in meiner Zeichnung" beginnt - der war genau dazu gedacht, um Leute, die sich wundern, wieso das hier mit endlichen Schleifen funktioniert, zu beruhigen. Vielleicht kommt das auch alles daher, dass ich im Gebiet Gittereichtheorie promoviert habe - da macht man alles auf nem gitter und die kleinsten Schleifen haben Kantenlänge 1.
"Homogen" - ja, das wäre wohl präziser, aber mit dem Zusatz "räumlich" sollte das "Konstant" ja jetzt hoffentlich auch unmissverständlich sein.
Ich bin unglaublich froh, diese Seite gefunden zu haben! Ich endlich eine Vorstellung bekommen! Vielen Dank für die tolle Arbeit
@Juliane
Freut mich, wenn's gefällt. Am besten gleich weiterempfehlen ;-)