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14.03.11 · 12:33 Uhr
Albert Einstein, die Zahl Pi und die Mäanderbildung bei Flüssen
Kategorie: Naturwissenschaften·Umwelt · Kommentare: 34
Heute ist Pi-Tag! Hurra! Ich bin ja seit 2 Jahren Botschafter der Zahl Pi. In dieser Eigenschaft ist es nicht nur meine Aufgabe, die Aufnahmeprüfungen zu überwachen die man absolvieren muss, wenn man den Freunden der Zahl Pi beitreten will - es ist auch meine Pflicht, den Geist der Zahl Pi hochzuhalten und die frohe Kunde der Kreiszahl in die Welt zu tragen. Dem möchte ich heute wieder mal nachkommen und etwas über die überraschende Allgegenwärtigkeit von Pi erzählen.
Der 14. März ist traditionell der "Pi-Tag" - denn in amerikanischer Schreibweise ist das 3/14 - und das sind die ersten drei Zahlen von Pi. Hier sind noch ein paar Stellen mehr ;)
3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 (...)
Natürlich hört es nach diesen 100 Nachkommastellen nicht auf. Pi hört nie auf. Es handelt sich um eine irrationale Zahl; also eine Zahl die nicht durch einen Bruch dargestellt werden kann und in deren Nachkommastellen es keine Periodizität gibt.
Der 14. März ist aber auch der Geburtstag des großen Albert Einstein! Und heute möchte ich beide Anlässe feiern und erzähle etwas über die Verbindung zwischen Pi und Einstein. Ok, das ist nicht schwer. Als Naturwissenschaftler hat Einstein die Zahl Pi natürlich überall in seinen Formeln und Theorien verwendet. Dieser Zahl entkommt man nirgends. Aber der gerade und offensichtliche Weg ist manchmal langweilig also machen wir es wie die mäandernden Flüsse und nehmen einen Umweg.
Einstein ist ja vor allem durch seine revolutionäre Arbeit zu den Grundlagen der Physik bekannt. Er hat die Relativitätstheorie begründet und für seine Beiträge zur Quantenmechanik den Nobelpreis bekommen. Aber das war bei weitem nicht alles, wozu Einstein sich Gedanken gemacht hatte. 1926 veröffentlichte er in der Zeitschrift "Die Naturwissenschaften" einen Artikel mit dem Titel "Die Ursache der Mäanderbildung der Flußläufe und des sogenannten Baerschen Gesetzes" (gibts hier als pdf). Einstein möchte erklären, warum Flüsse nicht einfach gerade von A nach B fliessen sondern unterwegs jede Menge Kurven und Schlaufen (die "Mäander") machen:
"Es ist allgemein bekannt, daß Wasserläufe die Tendenz haben, sich in Schlangenlinien zu krümmen, statt der Richtung des größten Gefälles des Geländes zu folgen. Ferner ist den Geographen wohlbekannt, daß die Flüsse der nördlichen Erdhälfte die Tendenz haben, vorwiegend auf der rechten Seite zu erodieren; Flüsse auf der Südhälfte verhalten sich umgekehrt (BAERsches Gesetz). Versuche zur Erklärung dieser Erscheinungen liegen in großer Zahl vor, und ich bin nicht sicher, ob dem Fachmann irgend etwas, was ich hierüber im folgenden sage, neu ist; Teile der darzulegenden Überlegungen sind jedenfalls bekannt. Da ich jedoch niemand gefunden habe, der die in Betracht kommenden ursächlichen Zusammenhänge vollständig gekannt hätte, halte ich es doch für richtig, dieselben im folgenden kurz qualitativ darzustellen."
Einstein erwähnt hier in der Einleitung das "Baersche Gesetz" das eigentlich besser "Baer-Babinet-Gesetz" heissen sollte. Denn Karl Ernst von Baer hat das Phänomen der asymmetrischen Erosion bei Flüssen zwar schon 1856 gedeutet, diese Erklärung wurde aber 3 Jahre später von Jacques Babinet erweitert.
Albert Einstein bringt in seinem Artikel ein anschauliches Beispiel. Er stellt sich eine Tasse mit Wasser vor in der ein paar Teeblätter schwimmen. Wenn man nun umrührt, dann sammeln sich die Blätter in der Mitte der Tasse. Das liegt daran, dass zwischen Wasser und Teetasse Reibungskräfte auftreten. Das gilt natürlich hauptsächlich für die Wassermoleküle am Rand der Tasse und die in der Nähe des Bodens. Da diese nun langsamer rotieren als die restlichen Moleküle ergibt sich in der Tasse eine Zirkulation, die Einstein so gezeichnet hatte:
Und deswegen sammeln sich auch die Teeblätter genau im Zentrum. Wenn nun ein Fluss um eine Kurve fliesst, dann ergibt sich im Prinzip die selbe Zirkulation wie in der Teetasse (Einstein merkt auch an, dass dies sogar passiert (wenn auch schwächer) wenn der Fluss gerade aus fliesst weil hier die Erddrehung eine entsprechende Kraft ausübt).
Dann erklärt Einstein die Bildung der Mäander bzw. die asymmetrische Erosion folgendermassen:
"Die am raschesten bewegten Flüssigkeitsteilchen werden am weitesten von der Wandung entfernt sein, also sich im oberen Teile über der Bodenmitte befinden. Diese raschesten Teile der Flüssigkeit werden durch die Zirkulation zur rechten Seitenwandung getrieben, während umgekehrt die linke Seitenwandung Wasser erhält, welches aus der Gegend nahe dem Boden stammt und eine besonders kleine Geschwindigkeit hat. Deshalb muß auf der rechten Seite (im Falle der Fig. 2) die Erosion stärker sein als auf der linken Seite. Man beachte, daß diese Erklärung wesentlich darauf beruht, daß die langsame Zirkulationsbewegung des Wassers darum einen erheblichen Einfluß auf die Geschwindigkeitsverteilung hat, weil auch der dieser Folge der Zirkulationsgewegung entgegenwirkende Ausgleichsvorgang der Geschwindigkeiten durch innere Reibung ein langsamer Vorgang ist.
Ich kann jetzt nicht wirklich beurteilen, ob diese Erklärung im Laufe der nächsten Jahrzehnte noch modifiziert wurde und wie der aktuelle Forschungsstand in Sachen Mäanderbildung ist. Aber wir sind ja heute sowieso an der Zahl Pi interessiert also wird es langsam Zeit, den Kreis zu schließen. Was hat ein Artikel von Albert Einstein über die Krümmung von Flüssen mit Pi zu tun? Um das zu beantworten begeben wir uns ins Jahr 1996 und lesen in "Science" vom 22. März die ">Arbeit von Hans-Henrik Stølum. Sie trägt den Titel "River Meandering as a Self-Organization Process" und untersucht die Frage der Mäanderbildung aus chaostheoretischer Sicht. Im Gegensatz zu Einstein hatte Stølum nun auch Computer zur Verfügung und konnte nun simulieren, wie sich die mäandernden Flüsse verhalten. Hier interessierte ihn vor allem das Wechselspiel zwischen der Ausbildung von Mäandern die dazu führen das der Fluss eine immer stärker gekrümmte Bahn verfolgt und der Bildung von Altwassern die entstehen wenn zwei Schlaufen eines Flusses sich berühren und der Fluss nun die neue Abkürzung nimmt. Dabei fand Stølum das sich die Art und Weise wie diese Altwasser bzw. die Mäander gebildet werden stark von den Anfangsbedingungen abhängt und das es geordnete und chaotische Phasen gibt.
Und wo steckt nun die Zahl Pi? Dazu betrachten wir einen Parameter, der sich "Sinuosity" nennt (keine Ahnung ob es hier einen deutschen Fachausdruck gibt). Damit wird das Verhältnis zwischen der Länge eines Flusses, gemessen entlang des Flusses (also das, was wir im Alltag als "Länge" eines Flusses kennen) und der geraden Luftlinie zwischen Quelle und Mündung bezeichnet. Wenn der Fluss in einer geraden Linie verlaufen würde, dann wäre seine Sinuosity gleich 1. Aber sobald ein Fluss eine Kurve einlegt, wird diese Zahl größer als 1 werden (und sie kann im Prinzip beliebig groß werden). Stølum hat nun untersucht, wie sich die Sinuosity im Laufe der Entwicklung eines Flusses ändert und fand, dass sie sich unabhängig von den Anfangsbedingungen irgendwann immer auf einen bestimmten Wert einstellt.
Ihr habt es sicher schon erraten: dieser Wert ist die Zahl Pi! So sieht das in einer Grafik von Stølum aus:
Nach einer anfänglichen wilden Phase beginnt die Sinuosity dann um einen Wert von 3,1415... zu schwanken und bleibt auch dort. Pi steckt also tatsächlich überall drin - sogar in der Art und Weise wie Flüsse fliessen. Ich wünsche euch noch einen frohen Pi-Tag.
Pi Vobiscum!
Einstein, A. (1926). Die Ursache der Mäanderbildung der Flußläufe und des sogenannten Baerschen Gesetzes Die Naturwissenschaften, 14 (11), 223-224 DOI: 10.1007/BF01510300
Stolum, H. (1996). River Meandering as a Self-Organization Process Science, 271 (5256), 1710-1713 DOI: 10.1126/science.271.5256.1710
Autor: Florian Freistetter· 34 Kommentare· Permalink· Trackback-URL
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Kommentare (34)
Genau, trotz der Japankatastrophe, wünsche ich euch auch einen schönen Pi-Tag.
Ist wirklich eine sehr schöne Zahl.
Neben der Baerschen Regel (Wirbeltierembryonen) und der Bährschen Regel (Bauernendspiele) gibt es also auch ein Baersches Gesetz.
Was mich mal interessieren würde (so ganz allgemein): Ich habe bei Wikipedia gelesen, dass für einzelne Zahlen deren irrationalität bewiesen ist, bei anderen vermutet wird.
Tut man das mehr oder minder, weil aus der Ablehung der Irrationalitätsvermutung die Darstellbarkeit als Bruch abgeleitet werden kann und dadurch die Rechnerei einfacher wird? Oder ist es eher Neugier an der Klassifizierbarkeit der Zahlen?
Zu Pi selber hab ich nicht soviel zu sagen. Ich finds nur immer noch faszinierend, wie man auf so eine Zahl überhaupt kommt.
Anläßlich des Pi-Tages eine Prophezeihung "Was würde Frank Wappler" dazu sagen?":
@knorke: Naja, zu wissen ob eine Zahl rational ist oder irrational ist wichtig. Denn darauf kann man dann verschiedene anderen beweise aufbauen usw.
Hallo Florian,
wie beurteilst Du als Botschafter der Zahl Pi dieses Video:
http://www.youtube.com/watch?v=jG7vhMMXagQ
Happy PI-Day!
Andreas
@Andreas: Was ist denn das für ein Unsinn? Die Frau dort behauptet, PI ist blöd und falsch, weil 360 Grad 2*Pi entspricht und nicht Pi....
@Florian:
Ich würde das Video nicht unter Unsinn einordnen, sondern unter Humor... wird schnell klar, wenn man ein wenig den Links unter dem Video folgt. (außerdem hat die Autorin des Videos eindeutig Ahnung von Mathematik - einfach mal ihre Homepage anschauen... (vihart.com))Der 22/7 wäre auch kein schlechter Pi-Tag.
22/7 ist die beste Annäherung an Pi durch relativ kleine, ganze Zahlen (besser als 25/8, 19/6, oder 16/5).
Läßt sich leicht merken und ziemlich schnell berechnen und weicht nur 0,04% vom obigen Wert ab.
Für den (nicht-mathematisch, wissenschaftlichen) Hausgebrauch reicht das wohl meist.
@IO: !"Der 22/7 wäre auch kein schlechter Pi-Tag. "
Stimmt: http://www.scienceblogs.de/astrodicticum-simplex/2009/07/ein-wenig-chaostheorie-am-piapproximationstag.php
@Bjoern: "(außerdem hat die Autorin des Videos eindeutig Ahnung von Mathematik - einfach mal ihre Homepage anschauen... (vihart.com)) "
Ach, auch Mathematiker haben oft seltsame Ideen... Die Links hab ich mir nicht angeschaut. Kann gut sein, dass es ein Scherz ist.
Um wenigstens etwas Kontroverse reinzubringen vertrete ich den Standpunkt, daß das Auswendiglernen von Ziffern kein Freundschaftsbeweis ist.
Das Entdecken von Pi in der Natur hingegen schon.
@Florian
Ich würde es auch eher unter Humor einordnen. Und als (augenzwinkernde) Provokation.
Andreas
Hallo,
das ist doch nur ein (dummer) weiterer Versuch Pi fest zu legen weils sonst "zu schwierig" ist, dabei hat man beim Rumheulen über diese FIESÄÄÄ GÄMAINHAIT schon mehr Zeit verschwendet als wenn man beim Rechnen kurz das Hirn anschaltet und halt eine passende Ungenauigkeit in Kauf nimmt.
Das eigentlich Schöne an solchen Hirnverdrehungen wie in dem Video ist, in der Realität bekommt man sowas immer krachend um die Ohren gehauen.
Pi durch 1/2Tau zu ersetzen erscheint mir gar nicht mal so sinnfrei.
Manche Sachen wären dann einfacher - aber vermutlich nicht alle.
Am besten, wir Setzen die Ziffern 6 28318530 71795864 76925286 766559 nach der von Thilo geposteten Methode
http://www.scienceblogs.de/mathlog/2011/03/musik-zum-pitag.php
in Musik um und vergleichen dann.
Hi, bei Scientopia.org gab es die Diskussion ob pi "falsch" sei auch;
http://scientopia.org/blogs/goodmath/2010/12/08/really-is-wrong/#more-1235
Danke.
Hätte ich mir denken sollen, dass das schon abgehandelt war :)
Außerdem ist pi=3.1428
Jedenfalls behauptete das der Typ, der als ich studiert hatte immer vorm Geomatikum in Hamburg stand und Zettel verteilt hat. heute hätte er sicher ne homepage und würde hier Kommentare posten...
Ich lese grad Eins, zwei, drei … unendlich: Eine Reise an die Grenzen der Mathematik von Rudolf Kippenhahn worin unter anderem auch die Herleitung der Zahl pi erklärt wird. Wenn ich seinerzeit schon gewusst hätte, dass es Bücher gibt die einem Mathematik so anschaulich und verständlich näherbringen können, hätte ich mein Physikstudium vielleicht nicht abgebrochen;)
In diesem Sinne, happy pi-day!
Ich dachte heute wäre Schniblo Tag?
@ FF:
Als jemand, der über viele Jahre "314159265" als Universal-Passwort für alle möglichen Anwendungen benutzt hat (keine Sorge: diese Zeiten sind lange vorbei und meine Passwörter sind mittlerweile wesentlich komplizierter!), würde mich interessieren, ob ich bei Eurem Verein Mitglied werden könnte.
Als ehemaliger 1er-Mathe-LKler kann ich auch einen entsprechenden "Unterbau" vorweisen; für praktische Mathematik-Anwendungen interessiere ich mich schon lange. Und während meines Medizin-Studiums war ich in meinem Semester stets Hauptansprechpartner für alle diejenigen, die wieder einmal die Hausaufgaben in den Fächern "Biomathematik" und "Medizinische Statistik" nicht verstanden hatten.
Wo kann ich nun meinen Mitgliedsantrag stellen (und sei es auch nur als Fördermitglied)? Und viel wichtiger: wo würde dann der "Aufnahmeritus" stattfinden? (Und bitte, bitte verlangt nicht von mir, die ersten 100 Stellen von π ausgerechnet auf Schwyyzerdüütsch zu rezitieren - das wäre partiell schon ein arger Zungenbrecher...)
@noch'n Flo: Sehr schöne! Neue Mitglieder sind immer willkommen. Es gibt 2 Sachen die man beachten muss. 1) sollst du die 100 Nachkommastellen auf "interessante" Art und Weise rezitieren. Also nicht einfach nur aufsagen sondern dir irgendwas dazu ausdenken. Und 2) muss die Aufnahmeprüfung in Anwesenheit eines der Pi-Botschafter bzw. des (Vize)Präsidenten erfolgen. Da Präsi und Vize aber notorisch schwer zu erreichen sind und beide sich ständig irgendwo in der Welt rumtreiben solltest du dich an die Botschafter halten: http://pi314.at/Botschafter.html (in Zürich gibts auch einen)
Gibt es Untersuchungen darüber, ob solche Rotationsströmungen an Flußbiegungen existieren?
Ich "glaube" auch an eine Art selbstorganisierten Prozess, den ich einmal so beschreibe:
Falls bei Unterschreitung einer gewissen Fallhöhe die Falllinie (3l?, unsicher) verlassern werden kann, stellt sich Meandrierung zwangsläufig ein weil IMHO kleinste Unregelmäßigkeiten des zb. rechten Ufers kleine Wasserströmungen zum schräg flußabwärts liegenden linken Ufer umlenken.
Es stellt sich dann vergleichbar eines ungeschickten Bobfahrers im Eiskanal, der an die rechte Eiswand anstößt und dadurch an die linke geschleudert wird usw., eine Zigzagströmung ein. Diese wiederum verstärkt die anfänglich kleinen Unregelmäßigkeiten am vormals fast! noch glatten Ufer.
In der Folge werden die Außenufer der Kurven natürlich immer mehr ausgeschwmmt, bis sich manche Mäander sogar treffen und eine Schleif kurzschließen.
@regow: Sowas wirds sicher geben. Aber da bin ich überfragt, das müsste ein Geograph oder Geologe beantworten.
@regow + Florian,
ja, das kommt etwa hin. Details z.B. hier:
http://www.geo.fu-berlin.de/fb/e-learning/pg-net/themenbereiche/geomorphologie/fluvialmorphologie/flussbettgestaltung/grundrissformen/maeandrierende_fluesse/freie_maeander/index.html
(da ist übrigens auch von "Sinuosität" die Rede...)
Hallo,
manchmal sollte man sich solche Videos 2 mal angucken, ein Mathematikerscherz und ich raff es nicht sofort... GRMBL! o_O
@H.M. Voynich
Naja, ändern würde man gar nix durch die Namensänderungen, Vorfaktoren brauchts ja trotzdem noch. Ich sollte mehr Kuchen essen, hilft offensichtlich bei mathematischen Problemen.
@Florian:
"1) sollst du die 100 Nachkommastellen auf "interessante" Art und Weise rezitieren."
Gilt das Binärsystem als interessant genug? ;)
Irgendwo hab ich mal gelesen, daß man die einzelnen Binärziffern von Pi recht einfach anhand ihrer Position berechnen kann - konnte es aber nicht rekonstruieren.
Weiß jemand mehr? Anwesende Botschafter vielleicht? ;)
(p.s.: hat sich Stølum eigentlich mal den Kongo angeguckt? Da der insgesamt von Quelle bis Mündung einen Riesenbogen beschreibt, der Pi von sich aus schon überschreitet, müßte er unterwegs extrem glatt sein, oder?)
Hallo Florian,
Wie ist den sowas eigentlich möglich, dass eine Zahl wie pi regelrecht keine einzige Wiederholbarkeit von Zahlen aufweist und das man sowas niemals in einen Bruch darstellen kann?
Und noch etwas:
von:
http://www.madeasy.de/2/pi.htm
Wie kann sich eine Zahl so "perfekt" sich entwickeln, kurz gesagt, was ist das große Geheimnis von Pi?
Pi = Umfang des Kreises : Durchmesser des Kreise,
gibt es da noch andere Bsp. aus der Natur bzw. aus der Geometrie, die solche "transzetende" Zahlen hervorbringen können?
@Ex-Esoteriker: "Wie kann sich eine Zahl so "perfekt" sich entwickeln, kurz gesagt, was ist das große Geheimnis von Pi? Pi = Umfang des Kreises : Durchmesser des Kreise, gibt es da noch andere Bsp. aus der Natur bzw. aus der Geometrie, die solche "transzetende" Zahlen hervorbringen können? "
Pi ist da nichts besonderes. Solche Zahlen gibt es haufenweise. Unendlich viele. M http://de.wikipedia.org/wiki/Transzendente_Zahl (da stehen auch Beispiele für weitere Zahlen)
Ok Florian,
für dich scheint das nix besonderes zu sein, aber ich mag Pi, weil es eben für mich als nichtmathematiker eine schöne Zahl ist.
Hat seinen gewissen...Reiz...
Eben doch einigermaßen "geheimnisvoll". *Mmmh...kommt da bei mir der alte Esoteriker vor?*
Nur keine Angst, dass Interesse ist mehr von der Zahl selber.
Wie groß ist eigentlich die Wahrscheinlichkeit, dass der weltgrößte Physiker an einem Tag geboren wird, dessen Schreibweise PI repräsentiert? Immerhin ist der gewählte Kalender rein zufällig. Gleiches gilt für die Geburt Albert Einsteins (hinsichtlich des Zeitpunktes). Oder wäre es vielleicht doch wahrscheinlicher, dass Globuli wirken...
"Wie groß ist eigentlich die Wahrscheinlichkeit, dass der weltgrößte Physiker an einem Tag geboren wird, dessen Schreibweise PI repräsentiert?"
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das du geboren wirst ? Aber trotzdem bist du fähig hier einen Kommentar zu hinterlassen.......
Hier kommt PI auch vor, diese spezielle Reihe enthält gleich alle Primzahlen einschliesslich seiner Vielfachen... bin zwar kein Mathematiker aber rein Intuitiv vermute ich hier einen Zugang zu den Primzahlenproblem, erscheint mir zumindest logisch... ;)