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24.04.09 · 07:51 Uhr

Ordnung und Chaos in extrasolaren Planetensystemen Teil 3: Wie misst man Chaos?

Kategorie: Naturwissenschaften  ·  Kommentare: 4

In den letzten beiden Teilen dieser Serie habe ich erklärt, wie man prinzipell die Parameter einer Simulation auswählt und wie man die Simulation der Bewegung der Himmelskörper selbst durchführt. Angenommen, alles hat gut geklappt - wie finde ich nun heraus, in welchen Bereichen in einem Planetensystem geordnete Bewegung möglich ist und wo chaotische Bahnen vorherrschen und demnach keine Himmelskörper zu finden sein werden?

Zu viele Daten

Im Prinzip sollte es ganz einfach sein. Wir haben ja für viele verschiedene Testkörper an vielen verschiedenen Positionen berechnet, wie sich deren Bahnelemente im Laufe der Zeit ändern. Wenn diese Änderungen schön periodisch sind und nie über gewisse Grenzen hinausgehen, dann sehen wir eine reguläre Bewegung und können davon ausgehen, dass sich der Testkörper in einem Bereich des Sonnensystems befindet, in dem "Ordnung" herrscht. Als Beispiel sei hier die Veränderung der Exzentrizität der Bahnen von Erde und Venus gezeigt, die über Millionen Jahre hinweg streng periodisch und geordnet verläuft:

Sind die Änderungen allerdings nicht periodisch, dann bewegt sich der Testkörper höchstwahrscheinlich in einem chaotischen Bereich, wie man es z.B. an der Änderung der großen Halbachse zweier Asteroiden sehen kann:

Man muss sich also nur die Daten ansehen und entscheidet dann, ob sie ordentlich oder chaotisch sind. Leider klappt das nur, wenn man wenig Daten hat. Eine typische Simulation liefert als Resultat aber oft die Bahnen von einigen Zehntausend Testkörper. Hier hat man keine Chance mehr, einfach nur durch Ansehen der Daten seine Ergebnise zu bekommen. Da sind andere, automatische Methoden nötig.

Solche automatisierten Verfahren braucht man außerdem, um das dynamische Verhalten eines Testkörpers schon frühzeitig erkennen zu können. Denn meistens hat man nicht die Zeit, die Simulation so lange laufen zu lassen, bis sichergestellt ist, dass jeder Körper der sich in einer chaotischen Region befindet, dies auch tatsächlich in der Veränderung seiner Bahnelemente zeigt (Das kann unter Umständen kann schön lange dauern - genaugenommen beliebig lange! Aber über diese "sticky orbits" werde ich ein anderes Mal mehr erzählen).

Das Chaos messen

Was man hier braucht, sind sg. "Chaosindikatoren". Ein Chaosindikator ist im Prinzip eine Zahl, deren Wert angibt, ob bzw. wie stark chaotisch ein bestimmter dynamischer Prozeß abläuft. Im Laufe der Zeit wurden von Mathematikern, Physikern und Astronomen eine Vielzahl an Chaosindikatoren entwickelt (ich selbst habe in meiner Diplomarbeit gezeigt, dass man fraktale Dimensionen als Chaosindikatoren verwenden kann).

Am bekanntesten ist aber sicherlich der Liapunov-Exponent und seine vielen Abarten. Der Liapunov-Exponent basiert auf einer einfachen Idee: Wenn ich z.B. wissen will, ob ein Testkörper in einer bestimmten Region chaotisches oder reguläres Verhalten zeigt, dann betrachte ich nicht nur seine dynamische Entwicklung sondern auch die eines benachtbarten Testkörpers. "Benachtbart" heisst hier, dass die beiden Körper beliebig nahe aneinander liegen können (für die Fachleute: innerhalb einer epsilon-Umgebung). Nun schaut man, wie sich der Abstand dieser beiden Testkörper im Laufe der Zeit ändert. Befindet man sich in einem regulären Bereich, dann werden sich die beiden Himmelskörper nur langsam voneinander entfernen; im Laufe der zeit wird ihr Abstand nur linear anwachsen. Ist man allerdings in einer chaotischen Region, dann kommt der sg. "Schmetterlingseffekt" zum Tragen: schon kleinste Änderungen in den Anfangswerten können zu überproportional großen Änderungen im Laufe der Zeit führen. Der Abstand der beiden Testkörper vergrößert sich also viel schneller und wächst exponentiell an.

Der eigentlich Liapunov-Exponent ist ein eher mathematisches Konstrukt und lässt sich in der Praxis selten anwenden (z.B. muß man für seine Berechnung einen unendlich langen Zeitraum berücksichtigen was sich nur in Ausnahmefällen durchführen lässt). Deswegen existieren eine Reihe "Annäherungen" an den Liapunov-Exponent, die aber alle sehr gut funktionieren. Es gibt z.B. Fast Liapunov Indicators (FLIs) oder Relative Liapunov Indicators (RLIs). Dann existieren noch eine Reihe von anderen Chaosindikatoren die auf anderen Eigenschaften chaotischer Systeme basieren, wie z.B. Recurrence Plots, Rotation Angles, GALI (Generalized Alignement Index), etc.

Je weniger rund, desto chaotischer

In der Himmelsmechanik verwendet man aber oft eine ganz spezielle Methode, die manchmal "MEM - Maximum Eccentricity Method" genannt wird. Hinter diesem großen Namen steckt eine äußerst simple Idee. Man betrachtet die zeitliche Änderung der Exzentrizität eines Testkörpers und bestimmt den größten Wert, den die Exzentrizität während der Simulation angenommen hat. Diese Zahl ist der Chaosindikator.

Das diese simple Idee Sinn macht, lässt sich leicht erklären. Die Exzentrizität beschreibt, wie stark die Bahn eines Himmelskörpers von der Kreisbahn abweicht. Je exzentrischer die Bahn ist, desto langgestreckter ist sie auch. Je langgestreckter die Bahn ist, desto größer ist auch die Chance, dass der Körper in den Einflußbereich eines anderen Objekts gerät bzw. dass sich zwei Bahnen überkreuzen. Und da das chaotische Verhalten von Himmelskörpern unter genau solchen Umständen auftritt, kann man die Exzentrizität gut als Chaosindikator verwenden. Beim Vergleich mit anderen Methoden zeigt sich, dass die MEM qualitativ die selben Ergebnisse liefert:

Hier sieht man die stabilen (blau/grün) und chaotischen (rot/gelb) Bereiche im Planetensystem des Sterns HD 4208. Auf der x-Achse ist die anfängliche große Halbachse der Testkörper aufgetragen, auf der y-Achse der Anfangswert der Exzentrizität. Das linke Bild zeigt das Ergebnis, das man mit der MEM erhält, das rechte Bild die Ergebnisse, diesmal bei Messung des Chaos mit der sg. Rényi-Entropie (die Bilder stammen aus diesem Artikel, dort gibts auch noch Details zu den Methoden).

Zum Thema Chaosindikatoren gäbe es noch viel zu sagen - und vielleicht mache ich das auch mal in einem eigenen Artikel - aber für unsere Überlegungen hier reicht das bisher gesagte aus. Man ist nun also in der Lage, herauszufinden, wo in einem extrasolaren Planetensystem geordnete Bewegung möglich ist und wo man mit chaotischen, instabilen Bahnen zu rechnen hat.

Diese Informationen können durchaus wertvoll sein. So können sich beispielsweise Beobachter viel Arbeit sparen, wenn sie nur dort nach neuen Planeten suchen, wo auch stabile Bahnen möglich sind. Man kann gezielt diejenigen Parameter bestimmen, die möglichst gute dynamische Bedingungen für Planeten schaffen und Beobachtungsprogramme und Satellitenmissionen darauf abstimmen. Im letzten Teil der Serie werde ich ein konkretes Beispiel für so ein Analyse eines Planetensystem vorstellen, komplett mit echten Ergebnissen ;)

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Autor: Florian Freistetter· 4 Kommentare· Permalink· Trackback-URL

Tags: Astronomie· Bahnelemente· Chaosindikator· Extrasolarer Planet· Exzentrizität· HD 4208· Himmelsmechanik· Liapunov-Exponent· numerische Integration· Planet· Stabilität· Wissenschaft